Niveau maths spé

Equation de diffusion et résolution

Posté par
hosem 24-10-13 à 15:27

Bonjour,
J'ai un problème concernant la résolution d'une équation de diffusion de la forme : $\frac{\partial^2u}{\partial x^2} - \alpha \frac{\partial u}{\partial t}=0$
En fait, la solution et le raisonnement me sont donnés mais il y a un point que je ne comprends.
On utilise la notation complexe : $\frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial x^2} - \alpha j \omega \underline{u}=0$
On a l'équation caractéristique : $r^2=\alpha j \omega$ d'où on tire $r_1$ et $r_2$ les deux racines.
Et là on me dit : $\underline{u}=A.e^{r_1.x}.e^{j \omega t}+B.e^{r_2.x}.e^{j \omega t}$
Voici mon problème : je ne comprends d'où sorte les termes $e^{j \omega t}$
Merci d'avance.

Posté par re : Equation de diffusion et résolution 24-10-13 à 15:47

Bonjour,

La forme de la solution d'une équation différentielle de premier ou de second ordre contient la plupart du temps une exponentielle, car celle-ci dérivée une fois ou deux fois donne toujours une exponentielle, aux coefficients près.
Comme on a une dérivée partielle par rapport au temps, il y a aura une exponentielle temporelle associée à la solution.

Posté par re : Equation de diffusion et résolution 24-10-13 à 16:10

Je comprends votre raisonnement mais j'aimerais avoir une explication un peu plus mathématique...
Pour moi, on a une solution de la forme : $\underline{u}=\underline{A}.e^{r_1.x}+\underline{B}.e^{r_2.x}$
mais comment faire apparaitre les termes $e^{j\omega t}$ ?

Posté par re : Equation de diffusion et résolution 24-10-13 à 18:57

Personne ?

Posté par re : Equation de diffusion et résolution 24-10-13 à 21:10

Désolé de ma réponse tardive.

Comme l'équation aux dérivées partielles est dépendante de l'espace à une dimension (en x) et du temps, la solution doit nécessairement avoir les deux termes, un en $e^{rx}$ et l'autre en $e^{j\omega t}$ .
Après, il suffit de prendre la solution proposée et de calculer d'une part $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ et d'autre part $\alpha j \omega\frac{\partial u}{\partial t}$ et de constater que la différence donne 0.

Posté par re : Equation de diffusion et résolution 25-10-13 à 11:32

Ok merci de votre réponse, j'ai compris.

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