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Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement

Posté par
WilliamM007 22-06-13 à 13:58

Bonjour.

Je me place dans le cadre d'un mouvement à force centrale, donc on considère la constante des aire C=r²w et le vecteur unitaire radial des coordonnées cylindro-polaires.

Voici ce que j'ai lu dans deux livres différents (mais de la même collection) :

Citation :
La force d'inertie d'entraînement vaut mw²r d'où son énergie potentielle : -(1/2)mw²r²


Citation :
La force d'inertie d'entraînement vaut mC²/r³ d'où son énergie potentielle : (1/2)mC²/r²


On est donc face à deux expressions de la force d'inertie d'entraînement :
Mais mC²/r³=mr^4w²/r³=mrw² donc pas de panique, ça coïncide.

Par contre, on a deux expressions différentes de l'énergie potentielle, et :
mC²/r²=mr^4w²/r²=mr²w², on a donc la deuxième qui est l'opposée de l'autre.

Comment expliquez-vous que selon deux manières équivalentes d'écrire une force, on aboutit à deux énergies potentielles opposées ?

Merci.

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 23-06-13 à 10:10

Bonjour,

Dit comme cela, la première citation semble juste (Ep = -W(Fe))et la seconde semble l'opposée de juste ... donc sans doute fausse ... mais peut être y aurait il plus à dire sur le contexte de la seconde proposition avant d'attaquer l'auteur et son éditeur?

Posté par
WilliamM007re : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 23-06-13 à 11:55

Je vous met la phrase exacte :

Citation :
Le terme mC²/2r² n'est autre que l'énergie potentielle de la force d'inertie centrifuge f=m(')²r=mC²/r³er dans le référentiel tournant R' lié à l'axe (O,er).


Et en effet, si l'on dérive mC²/2r² par rapport à r, on retrouve bien -mC²/r³=-m²r, donc on a bien f=-gradEp.

Comment cela se fait-il ?

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 23-06-13 à 14:40

Hum hum ... il s'agit d'une petite confusion, du genre que nous commettons tous ...

Soit A = \frac{1}{2}m\frac{C^2}{r^2}

Tu écris \frac{dA}{dr} = \frac{1}{2}mC^2\frac{d}{dr}(\frac{1}{r^2}) = \frac{1}{2}mC^2\frac{-2}{r^3}

Soit, avec C = \omega r^2

\frac{dA}{dr} = - m\omega^2 r

Cependant ce calcul est inexact car C est fonction de r. Pour développer, réécrivons l'équation en considérant que C = C(r):

\frac{dA}{dr} = \frac{1}{2}m\frac{d}{dr}(\frac{C^2}{r^2}) = \frac{1}{2}m\frac{2C\frac{dC}{dr}.r^2 -2r.C^2}{r^4}

Soit

\frac{dA}{dr} = \frac{1}{2}m\frac{4\omega^2 r^5 - 2\omega^2 r^5}{r^4} = + m\omega^2 r

Donc pour pouvoir écrire:  \vec{F}_{i,e} (= - m.\vec{a}_e) = -\vec{grad}E_p

Il faut bien poserEp = -A  (+Cste)

Pas mal de signes "-" à trimbaler dans ce calcul ...

Posté par
WilliamM007re : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 23-06-13 à 21:59

Bonsoir PerArGal

Merci pour cette explication claire. La bonne énergie potentielle est donc -mw²r²/2 !

En fait, la constante des aires est indépendante du temps : dC/dt=0.
Mon erreur était de croire qu'elle était aussi indépendante de r : dC/dr=0, ce qui est faux.

Quoi que plusieurs choses me turlupinent.

Première chose, dC/dr=(dt/dr)*(dC/dt)=0, or on vient de dire que dC/dt0, alors où est l'erreur ?

D'autre part, si on a dC/dr0, alors je suppose que l'on a aussi dC/d0

Pourtant, d'après la formule de Binet, en notant u=1/r et u'=du/d,u''=d²u/d² :
=-Cu'r+Cu
a=-C²u²(u''+u)r

Cela se montre en dérivant par , et l'on considère C comme constante indépendante de , alors pourquoi dC/d=0 ?

Troisièmement, l'énergie mécanique d'un système conservatif est indépendant du temps, pourtant dans des exercices il arrive que l'on dérive par rapport à x par exemple et de dire dE/dx=0 car E est constante. Alors pourquoi ?

Tant de questions qui me viennent

Posté par
WilliamM007re : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 23-06-13 à 22:21

Après réflexion, je me dis que la constante des aires r²' est constante.

On peut donc écrire : r²'=r0²0', où r0 est le rayon à l'instant 0 et 0' la vitesse angulaire initiale.

C'est donc une constante indépendante du temps, mais du coup aussi indépendante de r. Alors qu'est-ce qui ne va pas ? Je suis tant embrouillé

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 24-06-13 à 16:03

Hum hum ...

Tempête sous un crâne visiblement. Les outils mathématiques c'est comme les philtres d'amour, plus ils sont puissants, plus il faut prendre ses précautions à l'utilisation

Et je crains que mes abus de notation mis en œuvre pour ne pas sortir l'artillerie lourde du formalisme différentiel ne t'ont pas aidé!

Je vais prendre le temps de lire en détail tes questionnements, mais pour patienter, une petite remarque "physique" pour justifier le signe moins de l'énergie potentielle d'entrainement:

si on avait un signe plus, la force centrifuge (dirigée vers l'extérieur) t'attirerait spontanément vers une zone d'énergie plus grande ... et cela la nature en a horreur.

Bon, ceci étant, je sais que cela ne te suffira pas ... je m'y recolle dans la soirée.

Posté par
WilliamM007re : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 24-06-13 à 22:56

Citation :
mais pour patienter, une petite remarque "physique" pour justifier le signe moins de l'énergie potentielle d'entrainement:

si on avait un signe plus, la force centrifuge (dirigée vers l'extérieur) t'attirerait spontanément vers une zone d'énergie plus grande ... et cela la nature en a horreur.


Oh en effet, voilà une chose à laquelle je n'avais jamais pensé. La force d'inertie d'entraînement est conservative, en tout cas dans le cas que l'on considère, et s'écrit donc -gradE, donc est orientée vers les énergies potentielles décroissantes. Dans le cas qui nous intéresse, on a une force axifuge, par conséquent l'énergie potentielle décroît avec r, ce qui s'écrit bien -mw²r²/2, il n'y a pas de doute.

Bien que cela me convainque pour le signe moins, je suis néanmoins toujours embrouillé par rapport à la discussion mathématique précédente.

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 25-06-13 à 18:59

Re-

Je poste la solution détaillée dans la soirée et qui devrait te satisfaire ... (j'étais en train de la rédiger quand les plombs ont sauté!)

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 25-06-13 à 21:07

Alors nous y voila  

Considérons donc un repère non galiléen \mathfrak{R}' muni d'un repère (0,\vec{e}_r,\vec{e}_{\theta},\vec{e}_z) en rotation dans le repère galiléen \mathfrak{R}, autour de l'axe O\vec{e}_z, à une vitesse \vec{\omega}(t) = \dot{\theta}\vec{e}_z

Considérons maintenant un point M de masse m, pouvant se déplacer le long de l'axe O\vec{e}_r donc de coordonnées (r(t),0,0) dans le repère \mathfrak{R}'

- vitesse de M:
dans \mathfrak{R}', \vec{v}(M)_{\mathfrak{R}'} = \dot{r}\vec{e}_r
dans \mathfrak{R}, \vec{v}(M)_{\mathfrak{R}} = \dot{r}\,\vec{e}_r+r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta


- accélération de M:
dans \mathfrak{R}', \vec{a}(M)_{\mathfrak{R}'} = \ddot{r}\vec{e}_r
dans \mathfrak{R}, \vec{a}(M)_{\mathfrak{R}} = (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e}_\theta

On voit donc apparaitre 2 forces d'inertie bien connues:

\vec{F}_{i,e} = +mr\dot{\theta}^2\vec{e}_r
\vec{F}_{i,c} = -m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e}_\theta

La seconde ne travaillant pas dans \mathfrak{R}' (\vec{F}_{i,c} \perp \vec{v}(M)_{\mathfrak{R}'}), intéressons nous à la première ...

Elle y produit toujours dans \mathfrak{R}' pour un déplacement élémentaire dr.\vec{e}_r (rappelons que M a 1 degré de liberté) un travail élémentaire:

\delta W(\vec{F}_{i,e})_{\mathfrak{R}'} = + mr\dot{\theta}^2dr

Cette force a toutes les chances de ne pas être conservative et donc de ne pas dériver d'un potentiel ... sauf dans quelques cas particuliers! (et c'est là que je me suis pris les pieds dans le tapis et l'horloge francomtoise en prime en essayant de t'aider ):

1er cas: mouvement uniforme de  \mathfrak{R}':  donc \omega(t) = \omega = Cste

\delta W(\vec{F}_{i,e})_{\mathfrak{R}'} = + m\omega}^2rdr

L'énergie potentielle E_p dont dérive \vec{F}_{i,e} est biensûr:

E_p = -\frac{1}{2}m\omega^2r^2 +cste  

Ouf! on est sauvé, quand M part à l'infini "entrainé" par la force centrifuge son énergie potentielle ne fait que diminuer.

2eme cas: (celui qui t'intéressait au début), mouvement à force centrale:
Dans ce cas Kepler nous dit qu'il existe une constante C telle que:  r^2\dot{\theta}} = C

Et donc dans ce cas:  

\delta W(\vec{F}_{i,e})_{\mathfrak{R}'} = + m\frac{C^2}{r^3}rdr

Et là E_p telle que \vec{F}_{i,e} = -\vec{grad}E_p est ...

E_p = +\frac{1}{2}m\frac{C^2}{r^2} + Cste

Et comme C = r^2\dot{\theta}} on a cette fois  E_p = +\frac{1}{2}m\dot{\theta}}^2r^2 +cste

DONC LES 2 FORMULES DES BOUQUINS SONT JUSTES  ... mais s'appliquent à des cas différents (il faut vraiment que je lise mieux les énoncés la prochaine fois ...)

Mais alors quand M part à l'infini ... l'énergie potentielle??? et bien ce que l'on peut dire dès maintenant est quand r part à l'infini, décroit bien plus vite puisque on a toujours: r^2\dot{\theta}} = C, et donc E_p tend vers 0 (à la constante prêt diraient les puristes ...)

Je crois que là on est bon

Citation :
sauf distraction
n'hésite pas si question supplémentaire, je suis chaud ...

Et dans tous les cas, cette petite révision de la méca non galiléenne m'aura fais le plus grand bien

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 25-06-13 à 21:45

Juste pour boucler la boucle, tu constateras que mon raisonnement initial avait consisté à dire que C était une fonction de r, donc pas nécessairement constante, puis lors du calcul de dC/dr, à sortir de l'opérateur différentiel, ce qui revenait à considérer comme une constante ... et donc ... à nous faire passer du cas 2 (C = Cste) au cas 1 ( = Cste)
C'est tellement beau quand tout se tient ... Et encore plus joli quand il faut creuser ...

Posté par
WilliamM007re : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 26-06-13 à 00:51

Oh ! Voilà qui est clair et bien expliqué, un grand merci !

Je pense que cet exposé, très bien présenté merci, m'a permis de comprendre où était l'erreur. Je vais essayer de résumer pour voir si j'ai bien compris :

Nous avons une force d'inertie d'entraînement : f=m²rr car on se place dans un référentiel non galiléen tournant à vitesse angulaire par rapport à un référentiel galiléen.

En fait, l'énergie potentielle ne vaut -m²r²/2 que lorsque que est constant.

Si l'on est dans le cadre d'un mouvement à force centrale, on peut employer la constante des aires C=r². Mon erreur était, je pense, de croire que l'énergie potentielle de la force d'inertie d'entraînement valait encore -m²r²/2, ce qui n'est pas le cas si n'est pas indépendant de r.
Si l'on veut déterminer l'énergie potentielle, il faut passer à une expression qui ne dépend que de r, d'où f=mC²/r³ ce qui nous donne bien une énergie potentielle qui vaut mC²/2r² = m²r²/2.

Les deux expressions de l'énergie potentielle sont correctes seulement si l'on est dans les deux cas, c'est-à-dire dans un mouvement à force centrale à vitesse angulaire constante.
À ce moment là, on pourrait croire que, puisque les énergies potentielle doivent être égales :
-m²r²/2=m²r²/2, mais ce serait négliger la constante liée à l'énergie potentielle !
En effet, si l'on écrit Ep1=m²r²/2 + C1 et Ep2=-m²r²/2+C2, alors :
Ep1=Ep2 soit m²r²/2=C3 où C3 est une constante. Puisque est constant, alors r est constant.

Ce résultat était prévisible. En effet, si est constante, alors r²=C/ est constant donc r est constant. Ouf, c'est cohérent ! J'espère être dans le vrai cette fois.

Encore merci pour ces explications qui m'ont éclairé !

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 26-06-13 à 07:48

Super!

Quelques petites (et humbles) remarques de détails:

Citation :
ce qui n'est pas le cas si n'est pas indépendant de r

Il serait plus exact de dire si n'est pas indépendant de t

Citation :
puisque les énergies potentielle doivent être égales :
-m²2r²/2=m2r²/2, mais ce serait négliger la constante liée à l'énergie potentielle !

Je ne suis pas certain que la référence à la constante (qui ont le sait est une constante purement arbitraire, l'énergie potentielle ne se manifestant que par son gradient) afin de "raccorder" les 2 modèles soit judicieuse.
Je reformulerais peut être ainsi: Dans le cas où on a à la fois = cste et un mouvement à force centrale, le rayon de la trajectoire est nécessairement constant: la trajectoire est circulaire uniforme, la force d'inertie ne travaille pas (M a perdu son degré de liberté dans R') et donc ne dérive pas d'un potentiel ou bien dérive d'un potentiel nul.

A+

Posté par
WilliamM007re : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 26-06-13 à 11:15

Hmmm d'accord merci

Juste pour pinailler un peu, dw/dt=(dr/dt)*(dw/dr) donc si dw/dr=0 on en déduit dw/dt=0 non ?
Ainsi, selon cet argument mathématique il serait donc identique de considérer indépendant de t ou indépendant de r.

Mais maintenant que j'y pense, supposons par exemple indépendant par rapport à une variable v.
Selon ce que je viens de dire, dw/du=(dv/du)*(dw/dv)=0 ce qui montrerait que s'il existe une variable par rapport à laquelle est indépendante, alors elle serait indépendante à toute variable... Non il y a forcément quelque chose qui cloche !

Arg !

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 26-06-13 à 12:53

C'est marrant ... je t'attendais un peu avec ta première remarque ...

Tu noteras que est la vitesse de R' dans R
Et que r est la position de M dans R'

Il me semble donc plus naturel d'écrire dans le cas où r et ne sont pas indépendants:

r = r(\omega)     (plutôt que \omega =\omega(r))

et donc

\frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\omega}\frac{d\omega}{dt}

Je comprends bien moins ta seconde remarque:

le \frac{d\omega}{du} = \frac{d\omega}{dv}\frac{dv}{du} est la retranscription du (fog)' = g' \times (f'og) du collège, le g' étant le \frac{dv}{du} et le (f'og) étant le \frac{d\omega}{dv}

Une condition à cette relation est que l'ensemble d'arrivé de g soit inclus dans l'ensemble de définition de f. Donc ici v et u ne sont pas quelconques puisque   v = v(u)  

Posté par
WilliamM007re : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 26-06-13 à 13:55

C'est donc un peu un problème d'abus de notation, on a tendance à oublier les hypothèses pour que ça marche.

En fait, si j'ai parlé de indépendant de r, donc considéré =w(r) comme fonction de r, c'est que pour passer de l'expression de l'énergie potentielle à la force, on dérive par rapport à r.

Posté par
PerArGalre : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 26-06-13 à 17:41

Ah mais oui mais non!

2 remarques:

Citation :
pour passer de l'expression de l'énergie potentielle à la force, on dérive par rapport à r


1) je pense qu'en l'espèce on passe plutôt de la force d'inertie au potentiel scalaire (mais je pinaille comme dirait WilliamM007): en terme basic l'entrainement confère au système une energie (j'y reviens dans une minute)

2) le point crucial est que la force dont on parle est une force d'inertie qui n'existe que dans R' qui par hypothèse initiale tourne autour de Oz à la vitesse (t)

Je reviens sur la notion d'énergie. Si on décide de na pas ce compliquer la vie et que l'on étudie le mouvement dans le ref. galileen R de centre O.

L'énergie mécanique (qui se conserve au cours du mvt) est composée de 2 termes:

- l'énergie cinétique  E_c = \frac{1}{2}mv^2
- l'énergie potentielle newtonienne E_p = \frac{K}{r}

Et l'énergie associée à la force d'inertie d'entrainement, qui est bien réelle, elle, où se cache t elle? Et bien dans l'énergie cinétique ... puisque v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2

On introduit d'ailleurs parfois/souvent la notion énergie potentielle efficace qui englobe le 2nd terme de l'énergie cinétique... mais j'enfonce peut être des portes ouvertes.

Bon, je crois que j'ai raconté tout ce que j'avais à raconter sur ce sujet!

Posté par
WilliamM007re : Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement 26-06-13 à 18:08

Je crois qu'on a fait le tour du sujet !

Merci


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