Niveau école ingénieur

Energie cinétique d'une tour

Posté par
SoaTox 30-12-23 à 21:39

Bonjour !

J'aimerais comprendre la logique de l'énergie cinétique de cette tour posté ci-joint

Voilà mes calculs jusqu'à la :

Ec(/R) = Ec(1/R) + Ec(2/R) + Ec(3/R)

1, 2 et 3 étant les 3 barres (toutes représenté comme étant homogène)
De plus, géométriquement on sait déjà que ₁ = ₂

J'ai donc écrit que Ec(/R) = 1/2*J₁*₁^point² + 1/2*J₂*₁^point² + 1/2*J₃*₃^point²

J_i étant les moments d'inertie, cette formule est valable que pour un point fixe, ce qui est le cas pour Ec(1/R) et Ec(2/R) mais pour Ec(3/R) je ne suis pas vraiment sur.

Bref, après développement je trouve que :

Ec(/r) = 1/2 * ( $\frac{48mh²}{12}+\frac{48mh²}{12}$ )*₁^point² + 1/2 * $\frac{mh²}{3}$ * ₃^point²

Ce qui est faux d'après le résultat final, je pense que l'erreur vient du fait que je prend en compte que la barre situé en haut est un point fixe, ce qui est normalement faux, mais comment écrire l'énergie dans ce cas ?

La bonne expression est normalement : $Ec = 32mh²\theta_1 \dot{}² + \frac{1}{2} mh²(4\theta_1 \dot{} + \theta_3 \dot{})² + \frac{1}{2}\frac{mh²}{3}\theta_3 \dot{}²$

Merci à tout ceux qui peuvent m'aider d'avance !

$Energie cinétique d\'une tour$

Posté par re : Energie cinétique d'une tour 30-12-23 à 21:46

Bonsoir
Le théorème de Kœnig sur l'énergie cinétique d'un solide : tu connais ? Sinon, revois ton cours sur l'expression générale de l'énergie cinétique d'un solide.

Posté par re : Energie cinétique d'une tour 31-12-23 à 10:58

En général l'énergie cinétique s'écrit :
Ec = 1/2*m*v²+1/2*J*²

Mais je pense que mon problème vient d'une incompréhension du système en question.

Je pense déjà avoir oublié la masse au milieu dans mon expression, elle serait donc : Ec = 1/2*2m*v² avec v = 4h*₁² ?

Qui plus est, est-ce que je devrais prendre en considération que Ec3 = 1/2*m*v²+1/2*J*²₃ ?

Posté par re : Energie cinétique d'une tour 31-12-23 à 11:39

Bon après re-calcul je trouve que :

Ec(barre1/R) = 1/2*4mh²*₁²
Ec(barre2/R) = 1/2*4mh²*₁²

Ec(Obs/R) = 1/2*2m*v²+1/2*J*²
Comme c'est une masse ponctuelle, j'ai supposé que son dernier est nul mais pas sur (c'est l'énergie de la masse au milieu)

Ec(Obs/R) = 1/2*2m*(8h(₁)²
Ec(Obs/R) = 1/2*128mh²*₁²

Ec(barre3/R) = 1/2*m*v²+1/2*J3*²

Ec(barre3/R) = 1/2*m*(2h₃)²+1/2* $\frac{mh²}{3}$ *₃²

Finalement, Ec(/R) = 1/2*128mh²*₁² + 1/2 * 4mh² * (4₁² + ₃²) + 1/2 * $\frac{mh²}{3}$ *₃²

Ce qui n'est pas trop mal, mais je comprends pas pourquoi j'ai une différence sur le premier terme et le deuxième termes au niveau des coefficients

Posté par re : Energie cinétique d'une tour 31-12-23 à 12:24

Les deux tiges sont en rotation autour de deux axes fixes dans R. Le moment d'inertie d'une tige par rapport à l'axe de rotation est m_tL²/3. Donc, pour les deux tiges avec les notations de l'énoncé :

$Ec_{1}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot3m.\frac{\left(4h\right)^{2}}{3}.\dot{\theta}_{1}^{2}=16m.h^{2}.\dot{\theta}_{1}^{2}$

Le solide de masse 2m est en mouvement de translation à la vitesse $4h.\dot{\theta}_{1}$ . Son énergie cinétique est ainsi :

$Ec_{2}=\frac{1}{2}\cdot2m.16h^{2}.\dot{\theta}_{1}^{2}=Ec_{1}$

Reste l'énergie cinétique de la tige de longueur h (solide 3).

Citation :
Ec(barre3/R) = 1/2*m*v²+1/2*J3*

Cette formule est beaucoup trop vague !
v : vitesse de quel point mesurée dans quel repère ?
J₃ : moment d'inertie par rapport à quel axe ?

₃ vitesse angulaire de quel solide mesurée dans quel repère ?

Posté par re : Energie cinétique d'une tour 31-12-23 à 12:53

Pourquoi calcul t'on les moments d'inertie par rapport à l'axe ? Car dans mon cas j'ai appliqué la formule pour son centre de masse G, qui à pour formule mL²/12, c'est faux ?

Pour le solide 2m, pourquoi on prend en compte uniquement ₁ ? il ne faut pas prendre en compte les 2 rotations, soit 4h*2₁ ?

Pour le solide 3, v correspond à la vitesse de la tige3 à son centre dans R

J3, le moment d'inertie par rapport à son centre de masse d'où J3 = $\frac{m4h²}{12} = \frac{mh²}{3}$

Puis ₃ la vitesse angulaire de la tige, qui vaut ₃²

Posté par re : Energie cinétique d'une tour 31-12-23 à 13:10

Ec3 = 1/2*m*(4h*₁+h₃)² + 1/2* mh²/3 * ₃²

Ca me parait juste, j'ai calculé la vitesse avec un transport.
Je retrouve donc bien la réponse

Cependant je comprends toujours pas pourquoi calculer son moment d'inertie par rapport au centre fonctionne ici, mais pas pour les 2 autres

Posté par re : Energie cinétique d'une tour 31-12-23 à 14:45

Apparemment, tu ne peux pas répondre aux questions précises posées à la fin de mon message de 12h24. Attention : la mécanique demande beaucoup de rigueur ! Tu risques de te faire piéger les jours d'examen ou de concours ! Je veux bien récapituler...
Solide 1 : les deux tiges : dans le repère R absolu,chacune est un solide mobile autour d'un axe fixe passant par son extrémité inférieure. L'énergie cinétique est donc de la forme générale :
$E_{c}=\frac{1}{2}J_{\Delta}.\dot{\theta}^{2}$
étant à une extrémité de la tige, le moment
d'inertie est de la forme générale m.L²/3
Solide 2 : c'est un solide en translation : tous les points ont la même vitesse V₂ à un instant donné, celle de l'extrémité supérieure des tiges.
$E_{c2}=\frac{1}{2}M.V_{2}^{2}$
Solide 3 : Il faut commencer par définir le repère barycentrique R_b : repère d'origine G, le centre d'inertie du solide 3 , en translation par rapport au repère R d'étude (repère absolu). L'énergie cinétique de solide dans R est donnée par la relation :
$E_{c/R}=\frac{1}{2}M.V_{G/R}^{2}+E_{c/R_{b}}$
Le premier terme fait intervenir la vitesse du centre d'inertie G du solide mesurée dans le repère absolu.
Le deuxième terme est l'énergie cinétique du solide mesurée dans le repère barycentrique. Or ici, le mouvement barycentrique est une rotation à la vitesse angulaire $\dot{\theta}_{3}$ autour d'un axe passant par le milieu de la tige et parallèle aux autres axes de rotation. Cela répond je pense à ta dernière question du message précédent.
PS : l'expression rigoureuse de $V_{G/R}^{2}$ fait intervenir cos(₃). Ton corrigé suppose cos(₃)1 ce qui suppose que l'angle ₃ reste petit (pas plus de 10° environ de valeur absolue)