Bonjour à tous.

Je viens vous demander de l'aide car après avoir passé 2 jours à essayer de comprendre cet exercice, après avoir recherché sur Internet de quoi mieux comprendre, tout est malheureusement toujours loin d'être clair à mes yeux.

Voici l'énoncé :

Un électron de charge  q = - 1,6.10^-19C  et de masse  m = 9,1.10^-31kg  , assimilé à un point matériel M, évolue dans le référentiel du laboratoire G supposé galiléen et muni d'un repère cartésien (O ; _x ; _y ; _z), sous l'action d'un champ électrique  _x  d'un champ magnétique  _y  , tous deuxuniforme et stationnaire.

On désigne par x, y, z, les coordonnées cartésiennes de M dans G et par  ₀ = v₀._z  la vitesse initiale de M telle que  v₀ = 500 km.s^-1.

On place en z₀ un écran d'observation parallèle au plan (O ; _x ; _y), destiné à intercepter M.


1) Dans le cas où  B = 0  et  E = 10 V.m^-1 , déterminer l'abscisse x_e de M sur .

2) Dans le cas où  B = 10^-5 T  et  E = 0 , la trajectoire de M est un cercle de rayon R. Calculer R.

3) Que vaut alors l'abscisse x_M de M sur ?

4) En supposant  E = 1 kV.m^-1 , déterminer B afin que le mouvement de M soit rectiligne et uniforme.

5) On suppose que E et B non nuls et on pose _c = (q.B)/m
     L'équation différentielle d'évolution de l'abscisse x de M s'écrit sous la forme  x'' + _c².x = a  , où a est une constante indépendante du temps. Déterminer a.

6) On suppose B = (2.E)/v₀ . Exprimer x(t).


N'ayant pas encore étudié les questions 4, 5 et 6, je ne demanderai, dans un premier temps, que de l'aide pour les questions 1, 2 et 3.

J'aurais besoin d'aide concernant les vecteurs, les différents repères, et donc les signes, car je m'embrouille énormément, surtout pour les question 2 et 3.

Voici mon travail :

1) Force de Lorentz :   = q.
Deuxième loi de Newton :  q. = m.

J'intègre, et je trouve :   = [(q.)/m].t + ₀        (constante déterminée grâce aux conditions initiales)

J'intègre, et je trouve :   = [(q.)/(2.m)].t² + ₀.t        (constante déterminée grâce aux conditions initiales)

J'ai donc : = [(q.E)/(2.m)].t²._x + v₀.t._z

J'exprime x(t) en fonction de z(t), et je trouve :   x_e = [(q.E)/(2.m.v₀²)].z₀²


2) Force de Lorentz :   = q.
Deuxième loi de Newton :  q. = m.

Et c'est là que tout se complique pour moi.

Je trouve :   = - q.v.B._x , donc une force dirigée visiblement vers l'extérieur du cercle (car q<0). Donc pour mon accélération, je dois écrire :   = (v²/R)._x + (dv/dt)._z

Or, d'après le théorème de la puissance cinétique, on a :  . = - q.v.B._x.v._z = 0  car _{x z}

D'où la vitesse est constante, et d'où = (v²/R)._x

Puis en revenant à l'égalité de la deuxième loi de Newton, je trouve :  R = - (m.v₀)/(q.B)


J'ai plusieurs problème sur cette question. Déjà, comment cela se fait-il que je trouve une force dirigée vers l'extérieur du cercle ? Ne devrait-elle pas être dirigée vers le centre ? Car l'accélération centripète est normalement dirigée vers le centre ? Donc comme les deux sont liées, j'ai mis l'accélération positive suivant _x mais je ne suis pas convaincu. On m'a dit de passer dans le repère de Frénet (0 ; ; ), mais alors là, quand je le fais, je m'embrouille totalement, et je ne comprend plus rien, car je n'arrive visiblement plus à diriger les vecteurs dans le bon sens (quand je compare avec le repère (O ; _x ; _y ; _z), je ne trouve plus des choses cohérentes, je m'embrouille dans les signes, et je ne comprends plus rien. Pourtant, je suis persuader qu'il faut passer dans le repère de Frénet et qu'il faut que je le comprenne, car on a affaire à une trajectoire circulaire uniforme.



3) Alors là, c'est la catastrophe. On m'a dit que l'équation cartésienne de ce cercle était :  (x - R)² + z² = R² , donc de centre C(R;0) et de rayon R.

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi le centre du cercle est C(R;0) et non pas O(0;0) ???



Demande d'aide :

Pourriez-vous, dans un premier temps, me dire ce que vous pensez de mon raisonnement ?

Pourriez-vous ensuite m'expliquer comment passer dans le repère de Frénet pour la question 2, et pourquoi je trouve une force positive donc dirigée vers l'extérieur ? Pourriez-vous me faire des schémas pour que je comprenne mieux ?

Pourriez-vous enfin m'expliquer pour le centre du cercle n'est pas O(0;0) mais C(R;0) ?



Voici ce que j'ai trouvé sur internet, mais ça ne m'avance pas du tout, car, bien qu'ils trouvent la même chose que ce que j'ai trouvé, eux le font dans le repère de Frénet, mais je n'arrive pas à comprendre comment ils y switchent.

http://imrt1.lgm.free.fr/physique/outils/dem_q_dans_B.pdf


Merci de votre aide, j'en ai grandement besoin !

Bonne journée.