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Electricite condensateurs

Posté par
Charlene2709 06-01-15 à 19:15

Bonjour
J'ai un petit soucis avec Le debut de mon exercice.
J'ai un circuit avec 2 resistances (R1 et R2), un condensateur C et un generateur E.
On me demande de determiner l'equation differentielle qui relit la tension Uc(t) aux Bornes du generateur. Et ensuite de montrer que Uc(t) =E(1-exp(-t/T) est solution de l'equation differentielle a condition d'avoir la relation T= (R1 +R2)C.
J'ai fait une page de calculs et ca ne m'a meme a rien..
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Electricite condensateurs 06-01-15 à 19:58

Bonsoir,
Je suppose que tout est en série, y compris R1 et R2.
On peut écrire :
$\large E-R_1\,i-R_2\,i-V_c\,=\,0$
On sait que :
$\Large i\,=\,\frac{dq}{dt}\,=\,C\,\frac{dV_c}{dt}$
Donc :
$\Large E-(R_1+R_2)\,C\,\frac{dV_c}{dt}\,-\,V_c\,=\,0$
Ou encore :
$\Large \frac{dV_c}{dt}\,+\,\frac{1}{(R_1+R_2)\,C}\,V_c\,-\,\frac{1}{(R_1+R_2)\,C}\,E\,=\,0$
ou :
$\Large \frac{dV_c}{dt}\,=\,-\,\frac{1}{(R_1+R_2)\,C}\,V_c\,+\,\frac{1}{(R_1+R_2)\,C}\,E$
C'est une équation différentielle de la forme $y'\,=\,a\,y\,+\,b$ . La solution est de la forme : $\large y\,=\,k\,e^{-at}\,-\,\frac{b}{a}$
Donc :
$\Large V_c(t)\,=\,k\,e^{-\frac{t}{(R_1+R_2)\,C}}\,-\,\frac{\frac{1}{(R_1+R_2)\,C}\,E}{-\,\frac{1}{(R_1+R_2)\,C}}$
$\Large V_c(t)\,=\,k\,e^{-\frac{t}{(R_1+R_2)\,C}}\,+\,E$

k se détermine à partir des conditions initiales. Si $V_c(0)\,=\,0$ :
$\Large V_c(0)\,=\,k\,+\,E\,=\,0\,\Rightarrow\,k\,=\,-E$
D'où :
$\Large V_c(t)\,=\,-E\,e^{-\frac{t}{(R_1+R_2)\,C}}\,+\,E$
$\Large V_c(t)\,=\,E\left(1\,-\,\,e^{-\frac{t}{(R_1+R_2)\,C}}\right)$

Posté par re : Electricite condensateurs 06-01-15 à 19:59

Pour être complet, il faut que je fasse un schéma...

Posté par re : Electricite condensateurs 06-01-15 à 20:12

Voici le schéma...
Est-ce bien celui-ci ?

Electricite condensateurs

Posté par re : Electricite condensateurs 06-01-15 à 20:16

Ou est-ce plutôt celui-là ?

Electricite condensateurs

Posté par re : Electricite condensateurs 06-01-15 à 20:18

Petite erreur de recopie...

Citation :
C'est une équation différentielle de la forme $y'\,=\,a\,y\,+\,b$ . La solution est de la forme : $\large y\,=\,k\,e^{-at}\,-\,\frac{b}{a}$

C'est :
C'est une équation différentielle de la forme $y'\,=\,a\,y\,+\,b$ . La solution est de la forme : $\large y\,=\,k\,e^{at}\,-\,\frac{b}{a}$

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