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Dynamique d'une poulie à deux gorges

Posté par
hdiallo 21-12-23 à 17:02

Bonjour, aidez-moi !
Problème : On considère le dispositif représenté ci-dessous.
• S est un système en rotation constitué d'une poulie à double gorges de rayon R1 = 6 cm et R2 = 2R1, d'une tige et deux masselottes A et B supposées ponctuelles et de même masse fixées aux extrémités de la tige. Le système S de moment d'inertie par rapport à () J = 7,2.10-4 kg.m² est mobile sans frottement, autour d'un axe fixe () passant par le centre de la poulie.
• f1 et f2 sont deux fils inextensibles de masses négligeable.
• S1 et S2 sont deux solides de masses respectives m1 = 200g et m2 = 4m1.Dynamique d\'une poulie à deux gorges

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 21-12-23 à 18:58

Bonsoir
La méthode consiste à appliquer la RFD à chacun des solides en translation puis le théorème des moments au solide en rotation.
En suite : le fait que les fils ne glissent pas sur les poulies donne une relation entre les accélérations.
Enfin, le fait que les tensions se conservent le long de chaque brin de fil permet, par une addition membre à membre, d'aboutir à l'expression de l'accélération angulaire demandée.
Bon courage !

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 25-12-23 à 05:48

D'accord !
Question 1) :
Dynamique d\'une poulie à deux gorges

NB : je considère le système S comme un seul solide en rotation :
- de poids \vec P appliqué au centre de la poulie à deux gorges,
- de la réaction \vec R de l'axe sur (S),
- des tensions \vec T_1' et \vec T_2' des brins de fil de part et d'autre de la poulie.

Sur le système S1
\vec P_1 ; \vec R_1 ; \vec T_1

Sur le système S2
\vec P_2 ; \vec R_2 ; \vec T_2

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 25-12-23 à 05:58

Question 2)

• Sur le système S1 : \sum{\vec F_{ex} = m_1.\vec a__1}
Donc \vec P_1+\vec R_1 + \vec T_1 = m_1.\vec a_1


• Sur le système S2 : \sum{\vec F_{ex} = m_2.\vec a__2}
Donc \vec P_2+\vec R_2 + \vec T_2 = m_2.\vec a_2

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 25-12-23 à 12:57

Ne pas oublier les frottements puis projeter. Théorème des moments pour le solide en rotation ?

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 25-12-23 à 13:44

D'accord !

Question 2)

• Sur le système S1 : \sum{\vec F_{ex} = m_1.\vec a__1}
Donc \vec P_1+\vec R_1 + \vec T_1 = m_1.\vec a_1

Suivant le sens positif du mouvement :

- m_1g.sin \alpha-f+T_1=m_1a_1   (1)

• Sur le système S2 : \sum{\vec F_{ex} = m_2.\vec a__2}
Donc \vec P_2+\vec R_2 + \vec T_2 = m_2.\vec a_2

Suivant le sens positif du mouvement :

m_2g.sin \beta -T_2 = m_2a_2   (2)

Sur le système (S) en rotation :

Seuls \vec T_1' et  \vec T_2' ont des moments non nuls.
La relation fondamentale de la dynamique du solide en rotation donne :

\sum{\mu (\vec F)} = J.\theta

Donc -T_1'R_2 + T_2'R_1 = J\theta   (3)

NB : " est l'accélération angulaire du système (S)

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 25-12-23 à 16:28

Très bien ! Tu peux passer aux étapes suivantes !
Ecrire que les fils sont inextensibles et ne glissent pas sur les poulies. Cela te permet d'exprimer a1 en fonction de R1 et " et d'exprimer a2 en fonction de R2 et ".
Ensuite considérer les fils de masses négligeables permet de considérer les tensions constantes le long de chaque fil.
Pour finir : une addition membre à membre astucieuse conduit au résultat demandé.

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 26-12-23 à 03:29

D'accord !
Fils inextensibles et glissants pas sur les poulies
a1 = R2"  et   a2 = R1"

• De la relation (1)

T1 = m1R2" + m1g.sin + f

• De la relation (2)

T2 = m2g.sin - m2R1"

Fils de masse négligeable
T1' = T1  et   T2' = T2

Alors je remplace T1 et T2 par leurs expressions dans la relation (3) puis je tire ", sachant que R2=2R1

-(2m1R1" + m1g.sin + f).2R1 + (m2g.sin - m2R1").R1 = J."

Je remplace m2 par 4m1 puis je tire " :

\theta '' = \frac {R_1[m_1.g(8sin\beta-sin\alpha) - f]}{17m_1R_1²+f}

C'est bon ?

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 26-12-23 à 09:59

Oui !

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 26-12-23 à 12:58

"f" n'apparaît pas au dénominateur, c'est plutôt "J"

\theta '' = \frac {R_1[m_1.g(8sin\beta-sin\alpha) - f]}{17m_1R_1²+J}

AN : g = 9,8 m/s²

" ≈ 27,6 rad/s²

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 26-12-23 à 23:16

D'accord avec toi !

Posté par
Candidere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 27-12-23 à 14:05

Bonjour,

Sans vouloir m'immiscer dans le topic, il me semble qu'il y a une bisbrouille quelque part

En partant du message du  26-12-23 à 03:29,  3 lignes avant la fin, il est noté :

-(2m1R1.theta" + m1g.sin(alpha) + f).2R1 + (m2g.sin(beta) - m2R1theta").R1 = J.theta" (1)

Et puis ... Je remplace m2 par 4m1 puis je tire theta" ...

Sauf que le résultat trouvé (qui est celui de l'énoncé) ne correspond pas du tout à ce qui serait tiré de (1)

A partir de (1) :

-(2m1R1.theta" + m1g.sin(alpha) + f).2R1 + (m2g.sin(beta) - m2R1theta").R1 = J.theta"

- 2m1R1g.sin(alpha) - 2R1.f + m2R1g.sin(beta) = theta".(J  + 4m1R1² + m2R1²)

Avec m2 = 4m1 -->

- 2m1R1g.sin(alpha) - 2R1.f + 4m1R1g.sin(beta)= theta".(J  + 4m1R1² + 4m1R1²)

theta" = R1.[m1.g(4.sin(beta) - 2.sin(alpha)) - 2f)]/(J + 8.m1.R1²)

Ce qui n'est pas du tout l'expression de l'énoncé ...
**********
Sans en être sûr (je n'ai pas cherché longtemps), il me semble qu'il y a une erreur dans l'énoncé.
On remarque sur le dessin que S1 est "relié" à la roue du rayon R2 et que S2 est "relié" à la roue de rayon R1

Et, je pense (à vérifier) que les formules données dans l'énoncé concernerait plutôt :
S1 est "relié" à la roue du rayon R1 et S2 "relié" à la roue de rayon R2.

Je laisse aux autres aidants ayant participé à ce topic depuis le début, le soin de vérifier, s'ils le veulent, si il y vraiment une erreur d'énoncé.

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 27-12-23 à 16:06

Bonjour Candide, bonjour hdiallo

Il y a en effet une erreur de frappe au niveau des indices des rayons : associer R2 au solide 1 et associer R1 au solide 2 est tellement illogique que ni le concepteur de l'énoncé ni moi ensuite n'en avons tenu compte dans l'expression de l'accélération angulaire. Merci Candide pour ta lecture très attentive de cet énoncé ! Pour plus de clarté je propose ci-dessous les deux solutions sans développer les justifications des formules.

Solution après correction de l'énoncé et du schéma : le fil n° 1 est relié à la poulie de rayon R1 et le fil n° 2 est relié à la poulie n° 2.

T_{1}-f-m_{1}.g.\sin\left(\alpha\right)=m_{1}.a_{1}=m_{1}.R_{1}.\ddot{\theta} \\ \\ m_{2}.g.\sin\left(\beta\right)-T_{2}=m_{2}.a_{2}=m_{2}.R_{2}.\ddot{\theta} \\ \\ -T_{1}.R_{1}+T_{2}.R_{2}=J.\ddot{\theta} \\ \\ T_{1}.R_{1}-f.R_{1}-m_{1}.g.R_{1}.\sin\left(\alpha\right)=m_{1}.R_{1}^{2}.\ddot{\theta} \\ \\ m_{2}.g.R_{2}.\sin\left(\beta\right)-T_{2}.R_{2}=m_{2}.R_{2}^{2}.\ddot{\theta}

Addition membre à membre des trois dernières relations :

\ddot{\theta}.\left(J+m_{1}.R_{1}^{2}+m_{2}.R_{2}^{2}\right)=g.\left[m_{2}.R_{2}.\sin\left(\beta\right)-m_{1}.R_{1}.\sin\left(\alpha\right)\right]-f.R_{1} \\ \\ \ddot{\theta}=\dfrac{g.\left[m_{2}.R_{2}.\sin\left(\beta\right)-m_{1}.R_{1}.\sin\left(\alpha\right)\right]-f.R_{1}}{J+m_{1}.R_{1}^{2}+m_{2}.R_{2}^{2}} \\
En posant R2=2R1 et m2=4m1 on obtient bien le résultat proposé.

Solution en accord avec l'énoncé et le schéma fourni mais peu logique et « piégeante » . Il suffit de permuter R1 et R2 mais je préfère détailler ;

T_{1}-f-m_{1}.g.\sin\left(\alpha\right)=m_{1}.a_{1}=m_{1}.R_{2}.\ddot{\theta} \\ \\ m_{2}.g.\sin\left(\beta\right)-T_{2}=m_{2}.a_{2}=m_{2}.R_{1}.\ddot{\theta} \\ \\ -T_{1}.R_{2}+T_{2}.R_{1}=J.\ddot{\theta} \\ \\ T_{1}.R_{2}-f.R_{2}-m_{1}.g.R_{2}.\sin\left(\alpha\right)=m_{1}.R_{2}^{2}.\ddot{\theta} \\ \\ m_{2}.g.R_{1}.\sin\left(\beta\right)-T_{2}.R_{1}=m_{2}.R_{1}^{2}.\ddot{\theta}

Addition membre à membre des trois dernières relations :

\ddot{\theta}.\left(J+m_{1}.R_{2}^{2}+m_{2}.R_{1}^{2}\right)=g.\left[m_{2}.R_{1}.\sin\left(\beta\right)-m_{1}.R_{2}.\sin\left(\alpha\right)\right]-f.R_{2} \\ \\ \ddot{\theta}=\dfrac{g.\left[m_{2}.R_{1}.\sin\left(\beta\right)-m_{1}.R_{2}.\sin\left(\alpha\right)\right]-f.R_{2}}{J+m_{1}.R_{2}^{2}+m_{2}.R_{1}^{2}}

En posant R2=2R1 et m2=4m1 on obtient un résultat différent de celui proposé :

\ddot{\theta}=\dfrac{g.m_{1}R_{1}.\left[4\sin\left(\beta\right)-2\sin\left(\alpha\right)\right]-2f.R_{1}}{J+8m_{1}.R_{1}^{2}}

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 27-12-23 à 16:34

Merci candide, merci vanoise !

Il est vrai que l'énoncé contient une erreur, mais moi aussi j'ai contribué à dissimuler cette erreur en écrivant directement le résultat final attendu, sans poursuivre jusqu'au bout.

Merci beaucoup à vous !

Maintenant, je pense que nous allons poursuivre l'énoncé en le rectifiant afin de garder le résultat de " attendu 3.a)

Dans ce cas le fil (f1) sera relié au rayon R1 et le fil (f2) au rayon R2.

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 27-12-23 à 17:01

Cela me paraît le plus raisonnable !

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 29-12-23 à 02:17

OK, donc le nouveau schéma est le suivant Dynamique d\'une poulie à deux gorges

Question 3.a) : \theta '' = \frac {R_1[m_1.g(8sin\beta-sin\alpha) - f]}{17m_1R_1²+J}

Question 3.b) :
AN : g = 9,8 m/s²

" ≈ 27,6 rad/s²

Question 4.a) :
La vitesse angulaire est = "t1

AN : = 55,2 rad/s

Question 4.b) :
Les distances d1 et d2 sont données par les relations suivantes :
d1 = R1 et d2 = R2

AN : d1 = 3,312 m    et d2 = 6,624 m

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 29-12-23 à 11:18

Non ! Tu te contentes de permuter les indices des tensions sans changer la réalité physique, c'est à dire sans modifier les liaisons au solide en rotation. Tu devrais donc obtenir  :

\\ \ddot{\theta}=\dfrac{g.m_{1}R_{1}.\left[4\sin\left(\beta\right)-2\sin\left(\alpha\right)\right]-2f.R_{1}}{J+8m_{1}.R_{1}^{2}}
Pour obtenir la relation fournie par ton corrigé à savoir :

\theta '' = \dfrac {R_1[m_1.g(8sin\beta-sin\alpha) - f]}{17m_1R_1²+J}
il faut que  le fil n° 1 soit relié à la poulie de rayon R1 et le fil n° 2  relié à la poulie n° 2.
Tu l'as écrit toi-même dans ton message du 27-12-23 à 16:34 :

Citation :
Dans ce cas le fil (f1) sera relié au rayon R1 et le fil (f2) au rayon R2.

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 29-12-23 à 14:37

Ouf !

Donc si je comprend bien le solide (S1) est posé sur le plan d'angle et le solide (S2) sur le plan d'angle Dynamique d\'une poulie à deux gorges
Les réponses finales restent les mêmes

Question 3.a) : \theta '' = \frac {R_1[m_1.g(8sin\beta-sin\alpha) - f]}{17m_1R_1²+J}

Question 3.b) :
AN : g = 9,8 m/s²

" ≈ 27,6 rad/s²

Question 4.a) :
La vitesse angulaire est = "t1

AN : = 55,2 rad/s

Question 4.b) :
Les distances d1 et d2 sont données par les relations suivantes :
d1 = R1 et d2 = R2

AN : d1 = 3,312 m    et d2 = 6,624 m

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 29-12-23 à 15:07

Sur ton dernier schéma il faudrait aussi permuter et . Franchement : il aurait été plus simple de reprendre le schéma de l'énoncé en modifiant uniquement les liaisons des deux fils aux deux poulies.

Posté par
Candidere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 29-12-23 à 15:58

Bonjour,

Copier l'image, quelques découpes et ré-assemblages et on a ceci.

Pas parfait, mais pas si mal.

Dynamique d\'une poulie à deux gorges

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 20-02-24 à 03:37

Merci bien à vous, je m'étais absenté trop longtemps et j'espère que vs avez toujours l'exercice en tête.
Il fallait juste permuter les deux fils de liaison et faire un nouveau schéma.Dynamique d\'une poulie à deux gorges
Avec ce schéma, nous pouvons donc aboutir au résultat attendu à la question 3.a)

\theta '' = \frac {R_1[m_1.g(8sin\beta-sin\alpha) - f]}{17m_1R_1²+J}

Question 3.b) :
AN : g = 9,8 m/s²

" = - 81,7597....rad/s²
Un nombre négatif, je ne comprend pas pourquoi ça. Normalement, le système abandonné sans vitesse devrait prendre un mouvement accéléré avec une accélération angulaire positive.

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 20-02-24 à 11:28

L'accélération angulaire est du signe de \left[m_{1}.g(8sin\beta-sin\alpha)-f\right].
Tu es bien sûr qu'il s'agit d'une valeur négative ?

Posté par
Candidere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 20-02-24 à 11:43

Bonjour,

En appliquant la formule donnée de theta", je trouve
theta" = + 27,6 rad/s^2 et pas ce que tu as écrit.

C'est conforme à mon dernier dessin ... et pas au tien que tu penses, à tort, identique.

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 20-02-24 à 16:57

candide ton dernier dessin est identique au mien. Le fil du solide S2 posé sur le plan d'angle passe par la gorge de la poulie de rayon R2. Regardes bien !

vanoise

J'ai calculé \left[m_{1}.g(8sin\beta-sin\alpha)-f\right] = - 17,66

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 20-02-24 à 17:14

Ohhh là, j'ai vu mon erreur ! Ma machine était en radian, c'est pourquoi j'ai eu un nombre négatif.
En degré, j'obtiens effectivement 27,565....rad/s²

Donc " 27,6 rad/s²

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 20-02-24 à 17:22

Question 4.a) :
La vitesse angulaire est = "t1

AN : = 55,2 rad/s

Question 4.b) :
Les distances d1 et d2 sont données par les relations suivantes :
d1 = R1 et d2 = R2

AN : d1 = 3,312 m    et  d2 = 6,624 m

Posté par
Candidere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 20-02-24 à 20:17

Bonjour,

"candide ton dernier dessin est identique au mien"

Pas tout à fait.

Ton dessin est le "miroir" du mien.

Et cela a une conséquence.

Par convention, un vitesse de rotation est considérée positive si le mouvement est dans le sens anti horlogique (sens contraire des aiguilles d'une montre) et elle est négative  si le mouvement est dans le sens horlogique (sens des aiguilles d'une montre).

Dans ton dessin, la poulie tourne dans le sens horlogique, dans le mien la poulie tourne dans le sens anti horlogique ... et cette vitesse augmente en amplitude avec le temps.

Donc dans mon dessin theta" est positive et dans le tien theta" est négative.

Donc, sauf erreur, une accélération angulaire trouvée positive est  
liée à mon dessin.

Si tu prends ton dessin et respecte les conventions de signe ... tu dois trouver une accélération angulaire négative.

Sauf distraction de ma part.

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 21-02-24 à 13:12

L'énoncé dit que le solide S1 monte.
• selon mon schéma, le sens positif du mouvement est le sens trigonométrique, car S1 est du côté droit de la poulie ;
• selon ton schéma, le sens positif du mouvement est le sens horaire, car S1 est du côté gauche de la poulie.
Dans l'un ou l'autre cas, l'accélération angulaire est toujours positive.

Posté par
Candidere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 21-02-24 à 13:38

OK, je n'ai pas relu l'énoncé en cours de route.

Le soucis est, depuis le début, qu'il y a des incompatibilités entre l'énoncé  écrit et le dessin et que cela met la bisbrouille.

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 12-03-24 à 03:34

5) A l'instant t1, les deux fils se cassent.
a) Etude du mouvement ultérieur du système :

Lorsque les deux fils cassent, l'accélération angulaire du système S devient nulle (" = 0). Le système S sera donc animé d'un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe avec une vitesse angulaire constante de valeur = 55,2 rad/s

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 12-03-24 à 10:56

Si les fils cassent : ok pour la poulie si frottement négligé mais les deux solides gardent des accélérations non nulles sur les plans inclinés.

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 12-03-24 à 11:00

L'étude des mouvements des deux solides en translation n'est pas demandé. Reste pour finir à étudier l'influence du couple de frottement.

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 13-03-24 à 00:47

b) Équation horaire du système S

= t + 0

• = 55,2 rad/s ;
• 0 est l'abscisse angulaire de la poulie à la date t1 = 2 s

0 = ½(27,6)(2)² + 55,2(2) = 165,6 rad

Alors : = 55,2t + 165,6

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 13-03-24 à 11:11

L'énoncé demande de choisir l'instant de démarrage comme instant initial. Il faut donc : =0 si t=0. Ce qui n'est pas le cas dans ta proposition.
Quand tu poses : =.t+o avec o abscisse angulaire à la date t1, tu modifie l'origine des date en choisissant comme instant initial l'instant de coupure du fil.
Soit t' la nouvelle date telle que t'=0 corresponde à la coupure du fil. L'équation horaire est :
=.t' +o
avec : o=166rad
Or :
t'=t-t1
Finalement :
=(t-t1)+o
sachant que cette équation horaire n'a de sens que si t t1.

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 13-03-24 à 22:22

Ah je vois !

Donc = 55,2(t -2) + 165,6

Finalement = 55,2t + 55,2

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 14-03-24 à 14:15

Je reprends les applications numériques.
Messages du 20-02-24 à 17:14 et du 20-02-24 à 17:22
D'accord avec ta valeur de "
Pour les valeurs à la date t1=2s, il faut conserver tous les chiffres significatifs des applications numériques précédentes en mémoire de la calculatrice ; sinon, les arrondis successifs finissent par générer des erreurs importantes.
Ainsi la vitesse angulaire à la date t1 vaut 55,12028... qu'il convient d'arrondir à 55,1rad/s

Citation :
d1 = R1 et d2 = R2

Non ! Ce calcul te donnent les vitesses de translations des deux solides ! Il te faut calculer l'abscisse angulaire à la date t1.
Message du 13-03-24 à 00:47

Citation :
0 = ½(27,6)(2)² + 55,2(2) = 165,6 rad

L'équation littérale générale :
= ½".t2+'o.t+o
est correcte mais, pour cette phase uniformément accéléré entre t=0 et t=t1, la vitesse angulaire initiale est nulle.
Cela te conduit à :
o =  ½".t12 = 55,1rad
Alors :
d1=R1.o=3,31m
d2=R2.o=6,62m
Message du 13-03-24 à 22:22
En tenant compte de ce qui précède :
=55,1.(t-2)+55,1=55,1.t-55,1 pour t2s, étant exprimé en radians.
Sauf étourderie de ma part... Depuis le temps que ce problème est commencé...

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 18-03-24 à 07:52

Merci bien vanoise

c) calcul du moment du couple

Le Théorème de l'énergie cinétique entre le début du freinage et la fin donne :
Ec = c.

Donc -½J.0² = c(2n)
Car à l'arrêt = 0 ; n = 20 tours

Donc : c = -(J0²)/(4n)

C'est ça ? Je trouve un moment négatif.

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 18-03-24 à 22:38

Bonne méthode dans la mesure où le moment reste constant au cours du freinage. Le moment est bien négatif.

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 19-03-24 à 02:52

Merci

Je trouve c -8,7.10-3 N.m

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 19-03-24 à 11:45

D'accord !

Posté par
vanoisere : Dynamique d'une poulie à deux gorges 19-03-24 à 11:48

Juste une remarque : l'énoncé demande de noter M le moment du couple de freinage. Un jour de concours ou d'examen, il faudrait en tenir compte...

Posté par
hdiallore : Dynamique d'une poulie à deux gorges 19-03-24 à 12:10

Merci infiniment


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