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Dynamique
s'il vous plait aidez moi
un projectile de masse m, assimilé à un point matériel est tiré avec vitesse V0 à partir d'un point O origine du repère R(O, x,y,z) associé au référentiel terrestre supposé galiliéen. le champ de pensateur est supposé uniforme g. au cours de son mouvement le projectile est soumis à une force de frottement fluide f= - αV avec α une constante positive
1/ determiner les équations différentielles du mouvement
2/ en déduire les équations horaires du mouvement
3/ tracer l'allure de la trajectoire
axe Oz vertical vers le haut, plan Xoy horizontal.
Soit Vx , Vy et Vz les 3 composantes de la vitesse suivant les axes du repère.
dVx/dt= - (alpha/m).Vx
dVy/dt= - (alpha/m).Vy
dVz/dt= - (alpha/m).Vz - g
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dVx/Vx = - (alpha/m) dt
ln|Vx| = K1 - (alpha/m).t
Vx(t) = C1 * e^(-(alpha/m).t)
Vx(t) = Vox * e^(-(alpha/m).t)
Vy(t) = Voy * e^(-(alpha/m).t)
dVz/dt= - (alpha/m).Vz - g
dVz/dt + (alpha/m).Vz = -g
Sol de dVz/dt + (alpha/m).Vz = 0
Vz = K2.e^(-(alpha/m).t)
Sol particulière de dVz/dt + (alpha/m).Vz = -g.
Vz = -mg/alpha
Sol générales de dVz/dt + (alpha/m).Vz = -g.
Vz(t) = -mg/alpha + K2.e^(-(alpha/m).t)
vz(0) = Voz ---> Voz = -mg/alpha + K2
K2 = Voz + mg/alpha
Vz(t) = -mg/alpha + (Voz + mg/alpha).e^(-(alpha/m).t)
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on a donc :
Vx(t) = Vox * e^(-(alpha/m).t)
Vy(t) = Voy * e^(-(alpha/m).t)
Vz(t) = -mg/alpha + (Voz + mg/alpha).e^(-(alpha/m).t)
dx/dt = Vox * e^(-(alpha/m).t)
dy/dt = Voy * e^(-(alpha/m).t)
dz/dt = -mg/alpha + (Voz + mg/alpha).e^(-(alpha/m).t)
x(t) = -(m/alpha).Vox * e^(-(alpha/m).t) + C1
x(0) = 0 ---> (m/alpha).Vox = C1
x(t) = (m/alpha).Vox.(1 - e^(-(alpha/m).t)
y(t) = (m/alpha).Voy.(1 - e^(-(alpha/m).t)
z(t) = -(mg/alpha).t - (m/alpha).(Voz + mg/alpha).e^(-(alpha/m).t) + C2
z(0) = 0 ---> C2 = (m/alpha).(Voz + mg/alpha)
z(t) = -(mg/alpha).t + (m/alpha).(Voz + mg/alpha)*(1 - e^(-(alpha/m).t))
on a donc :
x(t) = (m/alpha).Vox.(1 - e^(-(alpha/m).t)
y(t) = (m/alpha).Voy.(1 - e^(-(alpha/m).t)
z(t) = -(mg/alpha).t + (m/alpha).(Voz + mg/alpha)*(1 - e^(-(alpha/m).t))
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