Niveau terminale

dispositif solide/ ressort : equations

Posté par
massilia0801 30-12-10 à 12:06

Bonjour à tous, voilà ce n'est pas pour une exercice que je poste ce sujet, mais pour une explication :

Lorsqu'on a l'équation différentielle d²x/dt² + k/m x =0

La solution est la fonction x(t)=Acos(2pi/T0.t+Phi)

Puis pour obtenir la relation T0 = 2pi racine de (m/k), il faut dériver la fonction x(t) deux fois. Dans mon cours, je n'ai pas toutes les étapes, j'ai directement la dérivée, mais je sais qu'on peut me demander la démonstration sur un exercice.

Est ce que vous pourriez m'expliquer toutes les étapes permettant d'arriver à l'expression de T0 ?

Merci d'avance

Posté par re : dispositif solide/ ressort : equations 30-12-10 à 13:12

Bonjour,
Si j'ai bien compris, on a l'équation différentielle :
$\frac{d^2x}{dt^2}\,+\,\frac{k}{m}\,x\,=\,0$
et on te donne la solution sous la forme :
$x(t)\,=\,A\,cos(\frac{2\,\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi)$
On a :
$\frac{dx(t)}{dt}\,=\,-\,A\,\frac{2\,\pi}{T_0}\,sin(\frac{2\,\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi)$
$\frac{d^2x(t)}{dt^2}\,=\,-\,A\,\Big(\frac{2\,\pi}{T_0}\Big)^2\,cos(\frac{2\,\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi)$
En remplaçant dans l'équation :
$-\,A\,\Big(\frac{2\,\pi}{T_0}\Big)^2\,cos(\frac{2\,\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi)\,+\,\frac{k}{m}\,A\,cos(\frac{2\,\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi)\,=\,0$
En mettant $A\,cos(\frac{2\,\pi}{T_0}\,t\,+\,\varphi)$ en facteur :
$\frac{k}{m}\,-\,\Big(\frac{2\,\pi}{T_0}\Big)^2\,=\,0\,\Rightarrow\,\Big(\frac{T_0}{2\,\pi}\Big)^2\,=\,\frac{m}{k}$
$T_0^2\,=\,2\,\pi\,\frac{m}{k}$

$3$T_0\,=\,sqrt{2\,\pi\,\frac{m}{k}\,}$

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