En faisant la somme de q² et i² je trouve:

q²+i² = Qm²sin(wt+phi(q))+Qm²w²cos²(wt+phi(q)) = Im²(sin²(X)/LC +cos²(X)) (x=wt+phi(q))
et là je bloque.

tous les sinus sont au carré, j'ai oublié de le mettre pour le premier. Je m'excuse.

Bonjour goldensilver,

tu n'arriveras a rien en additionnant q² et i², car ce ne sont pas des grandeurs comparables : elles ne se mesurent pas avec la meme unite. C'est comme si tu essayais d'additionner une longueur en m avec une surface en m2 : ca ne donne rien de bon.

Il faut reprendre l'exercice a son debut, avec le schema ci-dessous. J'appelle q(t) la charge portee par le condensateur a l'instant t, et i(t) l'intensite qui passe dans le circuit a cet instant.
On exprime deux fois la difference de potentiel v_A - v_B :
* avec le condensateur, v_A - v_B = q/C ;
* avec l'inductance, v_A - v_B = L.di/dt.
Les deux relations etant identiques, on obtient q = LC.di/dt (di/dt etant une autre maniere d'ecrire la derivee de la fonction i(t) ).
Or on peut aussi exprimer le courant i en fonction de la charge q : ici, c'est i(t) = - dq/dt ; le signe - est necessaire car pour que le courant passe dans le sens choisi sur le schema, il faut qut le condensateur se decharge, donc que q(t) diminue. Dans ce cas la derivee dq/dt est negative, et pour travailler avec un courant i(t) positif on est contraint de mettre ce signe moins.
On obtient donc q = LC.di/dt = - LC.d²q/dt² (c'est la notation "officielle" de la derivee seconde de la fonction q(t)...).

L'equation differentielle qui donne la charge q(t) s'ecrit donc d²q/dt² = - ².q, en posant ² = 1/(LC).
La solution de cette equation est une fonction telle que si on la  derive deux fois, on retrouve a une cste pres et avec un signe - la meme fonction : c'est donc une fonction sinusoidale. Je pose donc q(t) = Q₀.cos(t + ), Q₀ etant a determiner avec les conditions initiales, non donnees ici.
Une fois q(t) obtenu, on en deduit facilement i(t) = - dq/dt = Q₀.sin(t + ).

En comparant les expressions de q(t) et de i(t), on constate qu'elles contiennent les sinus et cosinus d'un meme angle. On ecrit donc
cos(t + ) = q(t)/Q₀, et sin(t + ) = i(t)/(.Q₀). C'est maintenant seulement qu'on peut elever au carre et additionner, puisque cos² + sin² = 1. On obtient facilement i² = ².q², avec = 1/(LC).

Tres sincerement, je pense que la premiere partie de ma reponse (etablissement de l'equation differentielle et ecriture de q et de i) est compliquee pour un eleve de terminale : j'ai eu pendant tres longtemps des etudiants d'universite que ne sauraient pas s'en sortir avec un tel exercice. Mais je suppose qu'on vous a deja donne les expressions de q(t) et de i(t) ?? Dans ce cas la relation finale est facile a etablir.

J'espere avoir repondu a ta question.  Prbebo.

Merci beaucoup pour l'explication, j'aurais jamais trouvé seul. Par contre j'ai pas compris comment la ddp entre A et B est positive pour le condensateur; Si on tient compte du sens que t'as choisi pour le courant, Uc serait de "sens contraire" que (en dessinant les flèches de courant). Pourquoi ne pas avoir mis que = -q/C ?

Sinon j'ai tout compris

Je ne comprends pas ta question, car U_AB = V_A - V_B = q/C est vrai dans tous les cas de figure : si q(t) est positif ca signifie que V_A > V_B, sinon c'est le contraire.
Pour la bobine, ce n'est pas le signe de q qui importe, mais son sens de variation : si q diminue (c'est plus facile de l'expliquer comme ca), ca veut dire que les charges quittent le condensateur pour traverser la bobine de A vers B (c'est le cas de mon schema). Si la quantite de charges quittant le condensateur varie lineairement au cours du temps, alors le courant i(t) est constant et la tension aux bornes de la bobine est nulle. En revanche si le courant i(t) augmente avec le temps, la bobine va s'opposer a cette variation en se comportant comme un generateur. Or un generateur de femn E cree un courant sortant de la borne + pour revenir vers la borne -. D'ou la relation V_A - V_B = L.di/dt.

Mon schema correspond a une situation particuliere, celle ou V_A - V_B est positif, donc peut s'exprimer par q/C comme une tension aux bornes d'un condensateur avec q > 0, mais diminue avec t, puisque le courant represente correspond a une diminution de la charge du condensateur. Dans ce cas, la tension aux bornes de la bobine depend du sens de variation de i(t) et s'exprime comme L.di/dt : si i(t) augmente (cad si le condensateur perd de plus en plus de charges), alors la bobine va s'opposer a cette perte et creer une tension  a ses bornes V_A - V_B positive.
Il n'est pas tres complique de  voir que dans les trois autres cas de figure (q > 0 mais q augmente avec t, ou q < 0 mais q diminue avec t, ou enfin q < 0 mais q augmente avec t), le raisonnement sera identique et les relations exprimant V_A - V_B seront les memes.

Je persiste a dire que la mise en equation du circuit L,C est compliquee pour un eleve de terminale !

Bonne soiree,  BB.