Niveau maths sup

Dérivée coordonnées cylindriques

Posté par
Vinc 20-11-12 à 22:02

Bonsoir,

Il y a un calcul que je ne comprends pas très bien.

On utilise les coordonnées cylindriques
Donc on a: $\vec{OM}=r\vec{u}_{r}+z\vec{u}_{z}$

On dérive par rapport au temps pour avoir le vecteur vitesse:
$\vec{v_{R}}(M)=\frac{d\vec{OM}}{dt}=\frac{dr}{dt}.\vec{u}_{r}+r.\frac{d\vec{u}_{r}}{dt}+\frac{dz}{dt}\vec{u}_{z}$

Et là ou je ne comprends pas c'est d'où sort le $r.\frac{d\vec{u}_{r}}{dt}$ et même si je comprends d'où il vient, pourquoi il n'y a t'il pas un... " $z.\frac{d\vec{u}_{z}}{dt}$ " qui vient?

En gros, j'ai du mal à voir qu'est ce qui est constant ou non, pour savoir qu'est-ce qu'il fait dériver.

Merci de m'éclairer

Posté par re : Dérivée coordonnées cylindriques 20-11-12 à 22:53

Bonjour.
$r.\frac{d\vec{u}_{r}}{dt}$ apparaît car vec{u}_{r} dépend de l'angle Ɵ (la base polaire et donc cylindrique est mobile), qui lui même dépend du temps. En effet si tu projettes ton repère cylindrique par rapport à un repère cartésien fixe, tu obtiens :

$\vec{u}_{r}=cos (\Theta(t)).\vec{u}_{x}+sin (\Theta(t)).\vec{u}_{y} \\ \vec{u}_{\Theta}=-sin (\Theta(t)).\vec{u}_{x}+cos (\Theta(t)).\vec{u}_{y} \\$

Ainsi $\vec{u}_{r}$ n'est pas constant, et $\frac{d\vec{u}_{r}}{dt} = \frac{d\Theta(t)}{dt}.\vec{u}_{\Theta}$
De même, $\frac{d\vec{u}_{\Theta}}{dt} = -\frac{d\Theta(t)}{dt}.\vec{u}_{r}$
En revance $\vec{u}_{z}$ est constant.
Enfin, r, Ɵ et z peuvent être constant mais souvent ils vont dépendre du temps, leur dérivée ne sera alors pas nulle.

Dérivée coordonnées cylindriques