Niveau terminale

Cyclotron 1

Posté par
hdiallo 06-05-24 à 05:35

Bonjour, aidez-moi svp.
Problème :
On donne : masse du proton m = 1,67.10^-27kg ; charge élémentaire e = 1,6.10^-19 C ; d = 1 cm ; U = 4000 V.
Un cyclotron est un dispositif constitué de deux demi-cylindres D₁ et D₂ séparés par une distance très faible d devant leur diamètre. Le tout est placé dans le vide. Un champ magnétique $\vec B$ perpendiculaire au plan de la figure est créé dans D₁ et D₂. Une source S (Voir croquis) émet des protons dont la vitesse initiale est nulle. Entre les deux demi cylindres (《dees》) et sur la distance d agit un champ électrique uniforme $\vec E$ .
$\vec E$ est constamment nul à l'intérieur des 《dees》. Cyclotron 1

Posté par re : Cyclotron 1 06-05-24 à 10:33

Bonjour
Qu'as-tu réussi à faire pour l'instant ? Qu'est ce qui te bloque ?

Posté par re : Cyclotron 1 06-05-24 à 11:36

Question 1)
Le Théorème de l'énergie cinétique appliqué sur le proton en mouvement dans le champ électrique donne :

$\Delta E_c = \sum{W(\vec F_{ex})}$

Seule la force électrique est appliquée, le poids du proton est négligeable.

½mV₁² = eU $V_1 = \sqrt {\frac {2eU}{m}}$

AN : V₁ 8,75.10⁵ m/s

Posté par re : Cyclotron 1 06-05-24 à 12:04

OK. Pour la suite, il faut démonter que le mouvement est circulaire uniforme. Cela se fait en 4 étapes :
1° : le mouvement est plan (perpendiculaire au vecteur champ magnétique) ;
2° : le mouvement est uniforme ;
3° : le mouvement est circulaire uniforme ;
4° : expression du rayon de trajectoire.

Posté par re : Cyclotron 1 06-05-24 à 15:53

2.a) Expression du rayon R₁
- système : proton de masse m ;
- référentiel : terrestre (supposé galiléen) ;
- bilan des forces : le poids $\vec P = m\vec g$ et la force magnétique $\vec F = q\vec V vectoriel \vec B$

Je demande le code pour taper le produit vectoriel.

Mais le poids est négligeable devant la force magnétique.

Le TCI donne : $\vec a = \frac {q}{m}\vec V vectoriel \vec B$     (1)

Soit $R(O, \vec i, \vec j, \vec k)$ un repère orthogonal de projection tel que $O\vec k$ est parallèle à $\vec B$ et de même sens.

Selon la relation (1) : $\vec a$ est perpendiculaire à $\vec B$ , mais $\vec B$ est parallèle à l'axe (Oz), ce qui implique que $\vec a$ est perpendiculaire à (Oz). Donc $a_Z = 0$

Par intégration successive de a_Z, on trouve Z = 0.
La côte Z étant nulle, le mouvement est plan. La trajectoire est située dans le plan XOY.

• la puissance de la force magnétique est : $P = \vec F.\vec V= 0$   ( car $\vec F$ est perpendiculaire à $\vec V$

D'autre part, la puissance est : $P = \frac {W_{\vec F}}{t}\Rightarrow W_{\vec F}=P.t =0$

En appliquant le TE_C entre l'instant où la particule pénètre dans le dee D1 et l'instant où elle sort, on obtient : $\Delta E_c = 0 \Rightarrow V = V_0 = constante$

Le mouvement est donc uniforme.

• selon l'expression du vecteur accélération, $\vec a$ est perpendiculaire au vecteur vitesse $\vec V$ à chaque instant. Donc $\vec a$ est normal. Le mouvement est Circulaire.

• Expression du rayon :

$\vec a$   étant normal, je pose : $a = \frac {V²}{R}$

En remplaçant a par son expression on trouve enfin :

$R = \frac {mV}{qB}$

Posté par re : Cyclotron 1 06-05-24 à 16:00

Très bien pour la démonstration !
Sous Tex :
\vec F=q\cdot\vec v \wedge\vec B
donne :

$\vec F=q\cdot\vec v \wedge\vec B$

Posté par re : Cyclotron 1 18-05-24 à 02:11

Merci bien.
Maintenant j'écris : $R_1 = \frac {mV_1}{qB}$
Je remplace $V_1 = \sqrt {\frac {2eU}{m}}$

Donc $R_1=\frac{1}{B}\sqrt{\frac {2mU}{e}}$

2.b) Temps de transit du dee D₁

Le mouvement dans un dee étant circulaire uniforme, le temps de transition dans un dee est la durée d'un demi-tour. C'est la moitié d'une période (durée d'un tour complet)

$\tau = T/2 = \frac {2\pi R_1}{2V_1} = \frac {\pi m}{eB}$

AN : = 31,8 ns

Ce temps est trop petit vanoise.

Posté par re : Cyclotron 1 18-05-24 à 11:00

Résultat correct. On applique entre les dees une tension accélératrice de fréquence relativement élevée.

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