Salut à tous, veuillez m'assister pour cet exercice.
Exercice :
Un mobile de masse m se déplace sur une table à coussin d'air horizontale, suivant une trajectoire rectiligne. A la date to =0, le mobile est lancé avec une vitesse vo horizontale. Malgré le coussin d'air, tous les frottements ne sont pas supprimés et on admet qu'il en résulte une force f =-hv où h est une constante positive. On admettra que le référentiel terrestre est galiléen.

On donne: m = 1 kg; v=1,20 m.s ; h= 10 unités S.I.

1. Étude de v

On note Ox l'axe qui porte la trajectoire : O position du mobile à fo= 0, 7 vecteur unitaire de Ox orienté comme v. Dans ces conditions OM=xi; v=vī

1.1 Préciser l'unité de h.

dv 1.2. Écrire l'équation différentielle vérifiée par v et la mettre sous la forme: rdv/dt+v=0. Donnez l'expression de r . Quelle est l'unité de r? Calculez sa valeur.

1.3. Vérifiez que v = lambda exp(- t/r) est solution de cette équation différentielle (où lambda est une constante). Déterminez λ

1.4. Représentez les variations de v en fonction de t.

1.5. Déterminez la date T où v=vo/2. Calculez T. Quel est le travail de entre les dates to = 0 et t₁ = T?

1.6. Déterminez la date T' où v = vo/4.

1.7. Calculez le travail de f entre la date to= 0 et l'instant où l'on peut considérer le mobile arrêté.

2. Étude de x

2.1. Exprimez x en fonction du temps. Représentez l'allure des variations de x avec r.

2.2. A quelle distance de O le mobile se trouve-t-il à ₁ = T?

2.3. A quelle distance de O le mobile s'arrête-t-il?

2.4. Calculez v lorsque x=1 m. Conclure sur l'intérêt de la table à coussin d'air.
Merci d'avance