slt un cas particulier: dans un exercice que j'ai fait aujourd'hui je devais déterminer à partir d' une courbe et il suffisait de lire la constante de temps en traçant la tangente à l'origine

Si on dit, que la demi vie d'un corps radioactif est de 27 ans (par exemple)

Cela signifie que l'activité de ce corps radioactif diminue d'un facteur 2 tous les 27 ans

Si A(t) est l'activité de ce corps à l'instant t et qu'elle était de Ao à l'instant t = 0 (choisi comme origine des temps), on a:

A(t) = Ao * (1/2)^(t/27)  avec t en années

Mais on préfère souvent avoir une exponentielle (e^...) plutôt que le (1/2) dans l'expression de A(t) car c'est souvent plus facile de manipuler les relations (dérivées ...) qui en découlent.

On écrit donc : A(t) = Ao.e^(-Lambda.t)

Et il faut trouver la valeur de lambda pour que cette expression soit équivalente à A(t) = Ao * (1/2)^(t/27)

Comme on sait que A(T) = A(27) = (1/2).Ao, on a:

(1/2).Ao = Ao.e^(-Lambda.27)

(1/2) = e^(-27.Lambda)

ln(1/2) = -27.Lambda
ln(2) = 27.Lambda
Lambda = ln(2)/27
Lambda = 0,0257

Et on peut écrire A(t) = Ao.e^(-0,0257.t) avec t en années.
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De manière générale

Si T est la période de demi vie, on a Lambda = ln(2)/T
et A(t) = Ao.e^(-Lambda.t)

Si on trace la courbe A(t) =  Ao.e^(-Lambda.t)

A(0) = Ao

A'(t) = -Lambda.Ao.e^(-Lambda.t)
A'(0) = -Lambda.Ao
La tangente à l'origine de la courbe représentant A(x) est: y = x.A'(o) + Ao
y = -Lambda.Ao.x + Ao

Cette tangente coupe l'axe des t (axe des abscisses) au point (1/Lambda ; 0)

Donc on peut déterminer 1/Lambda, constante de temps de la courbe de A(t) en lisant la valeur de l'abscisse du point où la tangente à l'origine à la courbe de A(t) coupe l'axe des abscisses. (attention à l'unité de l'axe des temps)
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Sauf distraction.  

Merci beaucoup à vous!

fakir

Bonjour tout le monde,


Je fais un TPE sur la modélisation mathématique de la désintégration radioactive. Et dans ma partieje n'arrive pas à répondre aux questions suivantes:

A quoi correspond concrètement et physiquement la constante de temps?
Pourquoi l'avoir "inventé" étant donné qu'on a déjà la période ou demie vie?

Merci d'avance.

fakir151

*** message déplacé ***

la constante de temps est un temps qui caractérise la matière radioactive .
or : .

le nombre de noyaux radioactifs qui restent à lae t= est:

N=N_o.e^-.
= N_o.e^-..
  = N_o.e^-1=0,37 N_o=37%N_o

donc la constante de temps est le temps au bout du quel il y'a disparition de 63% de la matière radioactive.

*** message déplacé ***

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