Niveau maths sup

Condition (v(orbite)/vo) de lancement d'un satellite terrestre

Posté par
pavlina 07-03-13 à 12:22

Bonjour à tous !

Voici un exercice où j'ai bien de la peine à avancer... Quelqu'âme charitable acceptera-t-elle de m'aider ?

L'énoncé

Citation :
Un satellite est injecté sur orbite en un point M₀, distant de r₀ du centre O de la terre, avec une vitesse $\vec{v_0}$ orthogonale à OM₀. On note $\vec{v_c}$ la vitesse du satellite sur l'orbite circulaire (O , r₀) et $\lambda=\frac{r_0}{R_T}$ le rapport des rayons où R_T est le rayon terrestre. Démontrer que le satellite n'échappera pas à l'attraction terrestre et ne rencontrera pas la Terre si
$\frac{2}{1+\lambda}<(\frac{v_0}{vc})^2<2$

Voilà...

Posté par Alors où j'en suis... 07-03-13 à 12:26

J'en suis au tout début

En s'intéressant d'abord à "n'échappera pas à l'attraction terrestre" :

D'accord, il faut que E_m<0, i.e. que
$\frac{1}{2}.m_s.v^2-\frac{G.m_T.m_s}{r}$ < 0

Or, le satellite ne subissant qu'une seule force, centrale, conservative, le th. de l'E_m s'aplique :
$\frac{1}{2}.m_s.v^2-\frac{G.m_T.m_s}{r} = cste \\ =\frac{1}{2}.m_s.v_0^2-\frac{G.m_T.m_s}{r_0}$

Ainsi, on veut $\frac{1}{2}.m_s.v_0^2-\frac{G.m_T.m_s}{r_0}$ < 0

Mais où/comment faire intervenir v_c et diparaître G, m_T(masse de la Terre) et m_s(masse du satellite) ?

Merci de votre aide !!!

Posté par re : Condition (v(orbite)/vo) de lancement d'un satellite terres 07-03-13 à 17:58

Bon...
J'ai fini par avancer un peu dans la correction de mon prof...
Juste,
comment a-t-il fait pour passer de la RFD pour la "trajectoire circulaire avec les conditions r₀, v₀" : $m.\vec{a} = - \frac{G.m.M_T}{r_0^2}$
à $m(-r_0\dot{\theta}^2) = - \frac {G.M_T}{r_0^3}$
?

Merci d'avance !

Posté par re : Condition (v(orbite)/vo) de lancement d'un satellite terres 07-03-13 à 18:14

S'il vous plaît... Je n'en peux plus de chercher...

Posté par re : Condition (v(orbite)/vo) de lancement d'un satellite terres 07-03-13 à 20:01

salut

plusieurs trucs

quand tu es arrivé à ... < 0 tu peux déjà simplifier tout par ms. Pour faire apparaitre vc, il faut que tu te rappelles de la relation qui lie la vitesse et la distance à 0 pour une orbite circulaire (ça vient de képler). Ca devrait te permettre de tomber directement sur une des inégalités !

pour la correction de ton prof, il a simplement exprimé l'accélération dans le repère cylindrique, pour une accélération centripète

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