Niveau licence

Cinématique du point

Posté par
Moulie 19-09-09 à 19:51

Bonjour,
En méca, nous avons commencer la cinématique du point et j'aurais besoin de votre aide pour un exercice que je n'ai pas compris.

Voilà l'énoncé:

Un point M se déplace sur l'axe Ox d'un référentiel orthonormé R(O,x,y,z) avec une accélération (a)=-kv²(i)
où k est une constante positive, (v) la vitesse instantanée de M dans r et (i) un vecteur unitaire dirigé vers les x>0. A l'instant t=0, x=x0=10m et v=v0=30m/s.

A. Calculer dans R, la vitesse v1 du point M lorsqu'il arrive au point d'abscisse x1=120m (on prendra k=10^-2 m^-1)
B. Quel est le temps t1 au bout duquel la vitesse v1 est atteinte?

Réponse:

On est parti du fait que:
(v)=(dOM)/dt et OM=x(i) d'où (v)=[dx)/dt]i.
et (a)=(dV)/dt
Jusque là aucun soucis,

Ensuite nous avons intégrer et effectuer beaucoup de calculs. C'est à partir de ce moment que je ne comprends plus. Pourriez-vous m'aider à trouver une méthode claire pour avoir la réponse; ou du moins m'aider à comprendre comment répondre aux questions.
(Au final, on trouve t1= 6,7 secondes et v1=10 m/s)

Merci d'avance

Posté par re : Cinématique du point 19-09-09 à 20:38

On peut faire comme ça:

$\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=-kv^2$

soit:

$-\frac{{\rm d}v}{{v^2}}=k{\rm d}t$

ce qui donne en intégrant:

$\frac 1 v=A+kt \Rightarrow v=\frac{1}{A+kt}$

et

$\begin{array}{rcl}x&=&\Bigint v(t){\rm d}t \\ &=&\Bigint \frac{{\rm d}t}{A+kt}\\ &=&B+\frac 1 k \ln \left(A+kt\right)\end{array}$

En exprimant t en fonction de x on trouve quelque chose comme:

$v=e^{k(B-x)}$

ou encore:

$v=v_0e^{k(x_0-x)}$