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Chute libre relativiste

Posté par
TheBartov 06-12-14 à 09:41

Bonjour,

J'ai mal compris comment on mettait au point l'équation du mouvement dans le cas de la chute libre dans le cas relativiste. En effet, dans mon cours on suppose :

Citation :
On suppose un particule test uniformément accéléré dans son référentiel tangent, telque \frac{d\vec{v'}}{dt'}=\vec{a'}. En d'autres terme, la particule est en MRU dans son référentiel propre. On suppose que l'accelération ordinaire de la particule est suivant l'axe Ox=Ox' et que son module est g. Le reférentiel tangent glisse le long de l'axe Ox à la vitesse v(t)\vec{e_x}.


Ensuite on a noté que la 4-accélérarion dans R (ref. fixe) est :a^\mu=\gamma(c\dot{\gamma},\frac{d}{dt}(\gamma v),0,0).

Jusque là, pas de soucis. Ensuite, on calcule la 4-accélération dans le ref. Tangent R' : a'^\mu=(0,g,0,0). Pour justifier le fait que a'^0=0, on a posé que \gamma(v=0)=1=Cte... mais je ne vois pas pourquoi v=0, car ici, le v est la vitesse du référentiel tangent dans le référentiel R, fixe. Quelqu'un voit la subtilité du problème ?

Merci d'avance !

Posté par
krinn Correcteurre : Chute libre relativiste 06-12-14 à 14:06

bonjour,

en RR il faut faire très attention de ne pas confondre v la vitesse d'un mobile qu'on étudie dans un repère R
et v la vitesse relative d'un repère R' par rapport à un autre repère R

ici dans R' la vitesse à retenir est v', vitesse du mobile dans R' donc
lorsque le mobile est en x(t) à la vitesse v(t) dans R (événement (t,x(t) dans R )
dans R' l'événement correspondant est (t',x') avec x'=0 et dx'/dt' = v' = 0 donc (v') = 1

Posté par
TheBartovre : Chute libre relativiste 06-12-14 à 15:05

Merci pour la réponse ! Mais on nous dit que dv'/dt'=g. Alors comment est-ce possible d'avoir v'=Cte ?

Posté par
krinn Correcteurre : Chute libre relativiste 06-12-14 à 15:16

qui a dit que v' était constant?
dans R'
v'(t') = 0
mais v'(t'+dt') = g dt'

Posté par
TheBartovre : Chute libre relativiste 06-12-14 à 15:20

Là j'ai du mal à vous suivre... si vous dites que est identiquement égal à 1, comment on peut avoir =1 si v'0 ?

Posté par
krinn Correcteurre : Chute libre relativiste 06-12-14 à 15:45

(v') n'est pas constant dans R'
mais en t', a'0 est bien nul, car d/dt' = v' dv'/dt'3/c2 = 0

sauf erreur

Posté par
TheBartovre : Chute libre relativiste 07-12-14 à 11:12

Je n'arrive pas à saisir cette subtilité... je suis désolé.

Donc, si je comprend bien, on a un objet qui tombe. Dans le référentiel R' lié à la particule, on a \frac{dv'}{dt'}=a'^1=g. Or ce référentiel est en perpétuel translation rectiligne et uniforme à la vitesse u. Ainsi le facteur gamma s'écrit :

\large \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}

Mais u est la vitesse du référentiel R' dans le référentiel R. Mais comme R' est lié à la particule, on a u=v(t), où v(t) est la vitesse de la particule dans le référentiel R. Ainsi, avec cette définition, la particule ne devrait pas avoir d'accélération dans R' (premier problème).

Passons ce problème de définition, utilisons les équations de Lorentz pour déterminer a'^\mu :

Dans R, on a

\large a^\mu=\frac{d}{d\tau}(\gamma c, \gamma v(t), 0 ,0)=\gamma \frac{d}{dt}(c\gamma , \gamma v(t),0 ,0)

Or on rappelle que \normalsize \dot{\gamma}=\dot{v}\frac{v}{c^2}\gamma^3

Donc : \large a^\mu=\gamma\left(\frac{v\dot{v}}{c}\gamma^3 , \frac{d\gamma v(t)}{dt},0 ,0\right)=\left(\dot{v}\beta\gamma^4 , \dot{v}\beta^2\gamma^4+\gamma^2 \dot{v}(t),0 ,0 \right)

En utilisant la transformation de Lorentz, on trouve :

a'^0=\gamma\left(a^0-\beta a^1 \right)=\gamma (\dot{v}\beta\gamma^4-\dot{v}\beta^3\gamma^4-\gamma^2\beta \dot{v})=\gamma(\dot{v}\gamma^4\beta (1-\beta^2)-\gamma^2\beta \dot{v})=\gamma(\dot{v}\gamma^2\beta -\gamma^2\beta \dot{v})=0

Jusque là, nous sommes d'accord :

a'^1=g=\gamma(a^1-\beta a^0)=\gamma(\dot{v}\beta^2\gamma^4+\gamma^2 \dot{v}-\dot{v}\beta^3\gamma^4)=\gamma(\dot{v}\gamma^4\beta(1-\beta^2)+\gamma^2\dot{v})=\gamma^3\dot{v}(\beta+1)

Et là je suis bloqué, je ne sais pas comment avancer ! :/

(est ce que mes calculs sont justes ?)
ps: je n'ai toujours pas compris pourquoi il y a une accélération dans R' alors que la particule est sencé y rester fixe... :/

Posté par
krinn Correcteurre : Chute libre relativiste 07-12-14 à 13:25

attention, R' n'est pas galiléen puisqu'il est accéléré, et donc on ne peut l'utiliser en RR que durant un temps dt (ou dt') infinitésimal: on change en permanence de repère R' qu'il faudrait noter R'(t) en fait
donc le mobile ne reste pas fixe dans R'(t), mais "saute" en permanence de R'(t) à R'(t+dt) si on peut dire

il faut donc impérativement utiliser des relations différentielles:

dv' = gdt'

la seconde est donnée par la composition des vitesse en RR:
dv' = 2 dv

et on a aussi bien sûr: dt = dt' (la fameuse "dilatation" du temps)

on trouve finalement:
g dt = 3 dv = d(v)


qu'on peut peut-etre trouver directement avec la composition de accélérations (mais c'est horriblement compliqué!)

sauf erreur

Posté par
TheBartovre : Chute libre relativiste 07-12-14 à 13:38

Ok, j'ai compris la subtilité physique, merci à vous.

Je vais replancher sur les calculs. Merci encore, et bon dimanche !

Posté par
krinn Correcteurre : Chute libre relativiste 07-12-14 à 13:54

petite correction:

R' est bien galiléen, c'est le repère lié au mobile qui ne l'est pas, mais qui à l'instant t coincide avec le referentiel tangent galiléen R'(t) ce qui permet un calcul en RR à condition d'utiliser le calcul infinitésimal

Posté par
krinn Correcteurre : Chute libre relativiste 07-12-14 à 14:41

pour l'anecdote, on y arrive par l'accélération, mais je te raconte pas les calculs

voir relation 49.105 ici:


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