Bonsoir à tous ! J'ai quelques difficultés a finir un exercice sur les équation différentielles.
Voici l'éxercice et les réponses aux questions, mais je bloque sur la dernière

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-Une balle de ping-pong est lâchée dans l'air. Le bilan des forces à un instant t >0 conduit au schéma...
F vecteur va vers le haut et P vers le bas (normal)
-F (vecteur) est la force de frottement
-P(vecteur) le poids de la balle

-On note v(t) la vitesse de la balle à l'instant t. Pour t=0 la vitesse est nulle.
-On admet que la valeur de la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse. ...F=(mg/64)*v², ou m est la masse de la balle. g=9.8m.s-1
-D'après la deuxième loi de Newton le bilan des forces conduit à P+F(vecteurs)=ma (a vecteur) ou a vecteur représente l'accélération subie par la balle.
- En projettant sur un axe vertical orienté positivement vers le bas, on obtient, mg-F=m(dv/dt) (1)
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1a) Traduire l'équation (1) par une équation différentielle (2) d'inconnue v.
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pour cette question : avec la relation  mg-F=m(dv/dt), en remplaçant F et en simplifiant par m j'arrive à g-gv²/64=v'

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1b) On admet l'existence d'une solution v de l'équation différentielle trouvée précedemment. Construire une approximation de la courbe représentant v en utilisant la méthode itérative d'Euler, avec un pas h=0.1.
Pour cela, choisir x0=0 et poser pour tout n>0, xn+1=xn+h.
Poser ensuite y0=v(x0) et yn=v(xn)

yn+1=yn+h*9.81(1-y²n/64)
Dans un tableur, affichez les valeurs de xn et yn, pour n compris entre 0et30...
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Ici j'obtient une suite de point croissant majorés par 8

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2a) On suppose que pour tout t> ou égal à 0, v(t)<8.
On pose alors pour tout t>ou égal à 0, w=1/(v-8).
Déterminer une équation différentielle de la forme y'=ay+b vérifiée par w.
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Je transforme cette nouvelle égalité pour arriver à v=(1/w)+8
Ensuite comme w vérifie l'équa diff, j'ai remplacé v par (1/w)+8 dans g-gv²/64=v'
En simplifiant j'arrive à: gw/4 + g/64 = w'

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b) Résoudre l'équation en tenant compte des conditions initiales et en déduire v.
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Les solution de cette équation sont les fonctions définies sur R par ke^(gw/4)-1/16
Etant donné que t(0)=0, j'ai trouvé k=1/16
L'équation équivaut donc à 1/16*e^gw/4 - 1/16


C'est ici que je bloque, je ne trouve pas la relation permettant de déduire "v" si vous avez quelques idées je suis tout a votre écoute  !

merci merci et bonne soirée !