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Champs magnétique

Posté par
ferenc 02-01-13 à 11:36

Bonjour,
Soit $P$ sur l'axe d'une boucle circulaire de rayon $R$ . La boucle porte un courant $I$ . Montrer que $B(z)=\frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$ .

Corrigé (voir schéma)
Par la loi de Biot-Savart, $\bold B(P)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{d\bold \ell\times\bold r}{r^3}$ .
Ensuite, on me dit que pour un élément de courant donné, la composante horizontale du champs magnétique s'annule avec la contribution de l'élément de l'autre côté de la boucle, il n'y a donc que la composante selon $z$ qui contribue au champs total, il faut donc projeter le champs magnétique sur l'axe $z$ avec $d\bold B_{\|}=d\bold B\cos\alpha=d\bold B\frac{R}{r}$ .

Q1) Je vous avoue ne pas trop comprendre pourquoi on a pas de composante horizontale. En effet,
$d\bold B_{\perp}=d\bold B\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{r}$ .
Ainsi, $d\bold B=d\bold B_{\|}+d\bold B_{\perp}$ . Mais, $B_{\perp}=\frac{\mu_0.I}{4\pi}\int\frac{Rd\theta }{r^2}.\sqrt{R^2-r^2}$ et ça ne semble pas me faire $0$ , mais peut-être que je me trompe D'ailleurs, c'est quoi les bornes d'intégration, le cercle ?

merci,

Champs magnétique

Posté par re : Champs magnétique 02-01-13 à 18:45

Non l'intégrale ne fait pas 0 mais le champ B perpendiculaire n'est pas égal à cette intégrale : il ne faut pas oublier les vecteurs qui sont de sens opposés :

Champs magnétique

Posté par re : Champs magnétique 02-01-13 à 19:03

Ca c'était graphiquement et ça suffit amplement : justement ça permet de se passer de calculs inutiles. Mais on peut aussi le démontrer par le calcul :

on se met dans une base cylindrique $\large\{\vec{e_r},\vec{e_\theta},\vec{e_z}\}$ :

$\large\vec{r}=-R\vec{e_r}+z\vec{e_z}$

$\large\mathrm{d}\vec{\ell}=R\mathrm{d}\theta\vec{e_\theta}$

On a :

$\huge\large\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\mathrm{d}\vec{\ell}\wedge\vec{r}}{r^3}=\frac{\mu_0I}{4\pi r^3}(R^2\vec{e_z}+Rz\vec{e_r})\mathrm{d}\theta$

d'où :

$\huge\mathrm{d}\vec{B}_\perp=\frac{\mu_0 IRz}{4\pi r^3}\mathrm{d}\theta\vec{e_r}=\frac{\mu_0 I Rz}{4\pi(R^2+z^2)^\frac{3}{2}}\mathrm{d}\theta\vec{e_r}$

Puis :

$\large\mathrm{d}\vec{B}_\perp=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{Rz}{(R^2+z^2)^\frac{3}{2}}(\cos\theta\vec{e_x}+\sin\theta\vec{e_y})\mathrm{d}\theta$

$\boxed{\large\blue\vec{B}_\perp=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\vec{B}_\perp=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{Rz}{(R^2+z^2)^\frac{3}{2}}\underbrace{\int_0^{2\pi}(\cos\theta\vec{e_x}+\sin\theta\vec{e_y})\mathrm{d}\theta}_{=\vec{0}}=\vec{0}}$