Si le conducteur est en équilibre, alors il n'y a pas de mouvements de charges. En particulier, à la surface, qui a donc un potentiel électrostatique constant.
Par définition, les lignes de champs sont tangentes au champ. Le champ est le gradient du potentiel. Un gradient est orthogonal aux surfaces équipotentielles (potentiel constant).

Si on se déplace sur une surface de potentiel constant, cela veut dire physiquement que le travail de la force électrostatique est nul, pour tout chemin sur la surface et en particulier infinitésimal.
Le travail infinitésimal est donné par E.dC = - grad pot . dC = 0 avec dC le chemin infinitésimal. E est orthogonal à la tangente dC de la surface, i.e, E est normale à la surface..