Niveau maths sup

Calcul du champ de profondeur

Posté par
Kai22 15-10-16 à 17:38

Bonjour.

Je m'intéresse à un exercice sur l'appareil photo dans lequel on définit la grandeur de profondeur du champ telle que :
PdC = 2ed².NO/f²
e = dimension d'un élément du capteur (en l'occurrence un pixel, ordre de grandeur 1 m)
d = distance de mise au point (d = OA, O origine de l'axe optique)
NO = ouverture de l'objectif
f = focale de l'objectif

On définit le champ de profondeur comme étant la distance entre deux points extrêmes de l'axe optique A1 et A2 dont les images sont vues nettement par le capteur de l'appareil.

Donc je veux démontrer cette relation en me basant sur le fait que PdC = OA1 - OA2 = A1A2.

Sauf que je ne vois pas comment avance après. J'ai la relation d = f/ON et je crois que je dois introduire la notion d'hyperfocale mais je ne sais pas comment la démontrer non plus.

Merci par avance pour votre aide !

Posté par re : Calcul du champ de profondeur 16-10-16 à 15:45

Bonjour

Citation :
J'ai la relation d = f/ON

Attention ! Tu as deux lettres "d" dans ce problème :
* la lettre "d" correspondant à la distance objet lentille correspondant à une image nette. (On peut assimiler pour la démonstration l'objectif à une lentille mince convergente. On obtiendrait le même résultat en raisonnant sur les plans principaux d'un système centré épais)...
* la lettre correspondant au diamètre de la pupille d'entrée que je vais noter D. Le nombre d'ouverture est alors défini par ON = f'/D et non f'/d comme tu l'as écrit.
Pour la démonstration, tu peux t'inspirer du site suivant :

, en particulier du schéma correspondant au paragraphe " définition du problème"
Plusieurs approximations doivent être faites pour aboutir à la formule que tu indiques. Tu es vraiment en math sup ? J'ai peine à croire que ce genre de problème puisse y être proposé sans plus de précision...

Posté par re : Calcul du champ de profondeur 16-10-16 à 21:42

La démonstration me semblait bien, en effet, mais le problème ce que, pour cet exercice, on doit un peu prendre des initiatives, comme on dit. Donc j'avais entendu parler de la notion d'hyperfocale que je dois absolument introduire mais je ne vois pas comment la démontrer. Après, pour le calcul de la PdC, c'est plutôt simple.

Posté par re : Calcul du champ de profondeur 17-10-16 à 00:02

Une fois l'appareil réglé pour photographier à l'infini (distance lentille capteur égale à f'), la distance hyperfocale H est la distance minimale objet objectif permettant d'obtenir une image nette. Cela veut dire que, tant que la distance à l'objectif d'un point objet est supérieure ou égale à H, la taille sur le capteur de la tache correspondante est inférieure ou égale à e : le diamètre d'un pixel. Pour le calcul, il suffit de placer un objet ponctuel A à la distance H du centre O : le diamètre de la tache obtenue dans le plan focal image sera e.
Théorème de Thalès :

$\frac{GK}{D}=\frac{e}{D}=\frac{F^{,}A^{,}}{OA^{,}}=\frac{OA^{,}-f^{,}}{OA^{,}}\quad donc\quad OA^{,}=\frac{D.f^{,}}{D-e}$

Relation de conjugaison de Descartes :

$\frac{1}{f^{,}}=\frac{1}{H}+\frac{1}{OA^{,}}$

En tenant compte des deux relations :

$\frac{1}{H}=\frac{1}{f^{,}}-\frac{D-e}{D.f^{,}}=\frac{e}{D.f^{,}}$

Sachant que l'ouverture numérique vaut $NO=\frac{f^{,}}{D}$ , la distance hyperfocale faut :

$H=\frac{D.f^{,}}{e}=\frac{f^{,2}}{e.NO}$

Pour la suite,si $d\geq H$ , il suffit de régler l'objectif à l'infini (capteur dans le plan focal image) et l'image sera aussi nette que la qualité du capteur le permet. Dans ce cas, on peut considérer la profondeur de champ comme infinie... c'est seulement pour H>d>f' que le problème de latitude de mise au point se pose.
Remarque : en toute rigueur j'aurais dû tracer en pointillés les prolongements GA' et KA' des rayons ...

Calcul du champ de profondeur

Posté par re : Calcul du champ de profondeur 17-10-16 à 07:11

Merci beaucoup ! Il me suffit ensuite de trouver les points extrêmes du champ et avec H, je trouve PdC.

Posté par re : Calcul du champ de profondeur 17-10-16 à 18:41

En revanche, une dernière chose sur la démonstration de Wikipédia : comment établit-on les rapports (HD)/(H+D) et (DH)/(H-D) ?
J'ai beau faire un schéma, je vois que la distance de mise au point (que j'ai appelée ici D) et l'hyperfocale H sont confondues...

Posté par re : Calcul du champ de profondeur 17-10-16 à 22:32

Bonsoir
Je m'attendais un peu à ta question : la démonstration n'est pas évidente... Le principe de la démonstration est le même que pour H mais la mise au point se fait à la distance d de la lentille. La distance lentille capteur n'est plus égale à f' mais à :

$d'=\frac{d.f^{,}}{d-f^{,}}$
puisque A' est le conjugué de A par la lentille. La position de l'objet la plus proche correspond au point A1 conduisant sur le capteur à une tache de diamètre e. Le théorème de Thalès conduit à :

$\frac{e}{D}=\frac{A^{,}A_{1}^{,}}{OA_{1}^{,}}=\frac{OA_{1}^{,}-d^{,}}{OA_{1}^{,}}\quad donc\quad OA_{1}^{,}=\frac{D.d^{,}}{D-e}$

La relation de conjugaison de Descartes conduit à :

$\frac{1}{f^{,}}=\frac{1}{OA_{1}}+\frac{1}{OA_{1}^{,}}\quad donc\quad\frac{1}{OA_{1}}=\frac{1}{f^{,}}-\frac{D-e}{D.d^{,}}=\frac{D.d^{,}-D.f^{,}+e.f^{,}}{D.d^{,}.f^{,}}$
En tenant compte des deux relations :

$\frac{1}{OA_{1}}=\frac{\frac{D.d.f^{,}}{d-f^{,}}-D.f^{,}+e.f^{,}}{\frac{D.d.f^{,2}}{d-f^{,}}}=\frac{e.d.f^{,}+f^{,2}\left(D-e\right)}{D.d.f^{,2}}\approx\frac{e.d+D.f^{,}}{D.d.f^{,}}\;car\;D\gg e$

En divisant tous les termes par e et en remarquant : $H=\frac{D.f^{,}}{e}$ :

$OA_{1}\approx\frac{d\frac{D.f^{,}}{e}}{d+\frac{D.f^{,}}{e}}=\frac{d.H}{d+H}$

Pour la position A2, le principe est le même : le capteur est toujours à la distance d' de O mais ici, l'image A'2 de A2 se forme devant le capteur... Je te laisse faire la démonstration sur le modèle de la précédente. Bien sûr, mes schémas ne sont pas du tout à l'échelle.

Calcul du champ de profondeur