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Bouchon à la surface de l'eau
Bonjour,
J'ai (encore!) un exercice niveau Licence.
Un bouchon cylindrique de masse volumique p, de hauteur H et de rayon R, flotte à la surface de l'eau. On veut étudier les oscillations qui se produisent lorsque l'on enfonce légèrement le bouchon dans l'eau. On repère le mouvement du bouchon par la longueur hors de l'eau L.
1. Faire le bilan des forces qui s'appliquent sur le bouchon. On pourra introduire la masse volumique de l'eau peau.
2. Quelle est la longueur L0 hors de l'eau lorsque le bouchon est à l'équilibre ?
3. On enfonce le bouchon d'une longueur l. Déterminer l'équation du mouvement.
4. Quelle est la période des oscillations.
J'ai d'abord fait un schéma, avec un axe Oz dirigé vers le haut.
Pour la 1, le bilan des forces est : poids P du bouchon (?) dirigé vers le bas, poussée d'archimède Pa=Peau.g.M.R²(H-L) ez(vecteur)... ? C'est juste ?
Merci et bonne journée...
Ce n'est sûrement pas un bouchon de bouteille de vin, ou alors il faudra m'expliquer comment tu arrives à le faire tenir dans l'eau avec son axe vertical et le faire osciller ... sans qu'il ne se couche ...
Enfin ,faisons comme si ... 
Poids du bouchon : P = Rho1 * Pi.R².H * g (vertical vers le bas) (Avec Rho1 la masse volumique du bouchon).
Poussée d'Archimède sur le bouchon : Pa = Rho(eau) * Pi.R².L.g (vertical vers le haut)
Avec axe Oz verical vers le haut :
O au niveau de l'eau ---> z repérant le bas du bouchon, on a :
Rho(eau) * Pi.R².L.g - Rho1 * Pi.R².H * g = Rho1 * Pi.R².H d²z/dt²
Rho(eau) * Pi.R².(-z).g - Rho1 * Pi.R².H * g = Rho1 * Pi.R².H d²z/dt²
- Rho(eau) *z *g - Rho1 * H * g = Rho1 . H d²z/dt²
Rho1 . H d²z/dt² + Rho(eau) * z * g = - Rho1 * H * g
A l'équilibre, (hors oscillations), d²z/dt² = 0 et donc Rho(eau) * zo * g = - Rho1 * H * g
zo = - Rho1/Rho(eau) * H
Le bas du bouchon est alors à la distance Rho1/Rho(eau) * H sous le niveau de l'eau.
La hauteur du bouchon hors de l'eau (au repos) est : Lo = H - Rho1/Rho(eau) * H = H* (Rho(eau) - Rho1)/Rho(eau)
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Bouchon initialement enfoncé de l
Rho1 . H d²z/dt² + Rho(eau) * z * g = - Rho1 * H * g
avec zo = - Rho1/Rho(eau) * H - l (z repérant le bas du bouchon).
d²z/dt² + (Rho(eau)*g/(Rho1*H)) * z = - g
p² = -(Rho(eau)*g/(Rho1*H))
wo = Racinecarrée[(Rho(eau)*g/(Rho1*H))]
z(t) = -(Rho1*H)/(Rho(eau)*g) + A.cos(wo.t) + B.sin(wo.t)
z(0) = - Rho1/Rho(eau) * H - l et (dz/dt)(0) = 0 permettent de calculer les valeur de A et de B ...
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wo = 2Pi/T = Racinecarrée[(Rho(eau)*g/(Rho1*H))]
T = 2Pi*Racinecarrée[(Rho1*H)/(Rho(eau)*g)]
C'est la période des oscillations.
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Ce serait plus amusant, avec le bouchon avec axe hoizontal.
Sauf distraction. (Rien relu)
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