Niveau licence

Bobines de Helmholtz

Posté par
mariam9 10-01-16 à 22:20

Bonjour à tous
J'ai un peu de mal à résoudre cette exercice ; notre prof de cours nous a avertie que ce problème sera probablement poser a l'examen de fin de semestre , veuillez sil vous plait m'aider :
les dispositif des bobines de Helmholtz est constitué de deux bobines plates de rayon R , de N spires chacune . de meme axe (Ox) et séparées par une distance d=O1O2 , un courantI circule dans le meme sens dans les deux bobines . On s'intéresse au champ magnétostatique crée par ce dispositif au voisinage du pont O , milieu de O1O2 . l'intéret de ce dispositif est qu'avec d=R le champ magnétostatique crée est uniforme dans une large zone autour de O
1- on considere chaque bobine comme un ensemble de N spires circulaire confondues . En utilisant l'expression du champ crée par une spire sur son axe , donner l'expression du champ en un point M situé sur l'axe (Ox)
2-On écrit B(M)= B(x)ex Montrer que Bx(X) est une fonction paire . Que peut-on en déduire concernant le développement limité de Bx(x) au voisinage de 0 ?
3-Calculer le développement limité à l'ordre en x/R de Bx au voisinage de 0
4- En déduire que avec d=R , Bx(x) = (4/5)^3/2NI/R au troisième ordre en x/R
5- On prend N=250 ,I=500mA et R=20cm. Calculer numériquement le champ magnétostatique au point O
quelqu'un peut-il m'aider ? Merci

Posté par re : Bobines de Helmholtz 10-01-16 à 23:14

Bonsoir,
Ce problème est un grand classique ! Des corrections sont sûrement disponibles sur le net.
Si tu pouvais préciser où tu en es dans tes calculs et raisonnements, l'aide ultérieure serait plus efficace.
L'idée générale est d'effectuer un développement de Taylor en X = 0 :

$B_{x}(X)=B_{x}(0)+X\left(\frac{dB_{x}}{dX}\right)_{X=0}+\frac{X^{2}}{2}\left(\frac{d^{2}B_{x}}{dX^{2}}\right)_{X=0}+\frac{X^{3}}{6}\left(\frac{d^{3}B_{x}}{dX^{3}}\right)_{X=0}+\frac{X^{4}}{24}\left(\frac{d^{4}B_{x}}{dX^{4}}\right)_{X=0}+\cdots$
La fonction f telle que B_x(X)=f(X) étant paire, les termes en X², X⁴, X⁶ etc sont nuls. Il s'agit alors de montrer que si d = R, la dérivée première est nulle. Dans ce cas particulier, on peut donc considérer que B_x est indépendant de X au troisième ordre près. Cela permet en pratique de considérer Bx comme constant le long de l'axe des X dans l'espace entre les deux bobines.
PS : tes notations sont un peu confuses : on peut au choix effectuer le développement limité en fonction de X ou de X/d...

Posté par re : Bobines de Helmholtz 11-01-16 à 12:22

Bonjour,
Je n'aurais pas dû répondre si tard hier soir : j'ai commis une confusion entre pairs et impairs. Puisque le fonction est paire, ce sont les termes impairs du développement limité qui sont nuls soit les termes en X, X³....
La dérivée première est donc nécessairement nulle en X = 0. Il s'agit donc de montrer que pour d = R, la dérivée seconde est aussi nulle. Puisque la dérivée troisième est également nulle à cause de la parité, c'est en fait au quatrième ordre près que l'on peut considérer B comme constant le long de l'axe au voisinage du milieu.
Si on note Bo la norme du vecteur champ au centre de chaque bobine, la norme B1 du vecteur champ créé au point de l'axe d'abscisse X par la bobine de gauche s'écrit :

$B1=Bo.\left(\sin\left(\alpha_{1}\right)\right)^{3}=Bo.\left(\frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{d}{2}+\frac{X}{R}\right)^{2}}}\right)^{3}=Bo\left(1+\left(\frac{d}{2R}+\frac{X}{R}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$
La norme B2 du vecteur champ créé au même point par la bobine de droite s'obtient en remplaçant X par (-X) dans l'expression de B1 :

$\\ B2=Bo\left(1+\left(\frac{d}{2R}-\frac{X}{R}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$
Compte tenu des sens des courants dans les bobines, les deux vecteurs champ ont la même direction et le même sens, la norme du vecteur somme a pour norme la somme des normes :

$B=B1+B2=Bo\left[\left(1+\left(\frac{d}{2R}+\frac{X}{R}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}+\left(1+\left(\frac{d}{2R}-\frac{X}{R}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\right]$
La dérivée de B par rapport à X a pour expression :

$\boxed{\frac{dB}{dX}=\frac{3Bo}{R}\left[\frac{\frac{d}{2R}-\frac{X}{R}}{\left(1+\left(\frac{d}{2R}-\frac{X}{R}\right)^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}-\frac{\frac{d}{2R}+\frac{X}{R}}{\left(1+\left(\frac{d}{2R}+\frac{X}{R}\right)^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}\right]}$
Je te laisse calculer la dérivée seconde et montrer qu'elle s'annule en X=0 dans le cas particulier d = R...

Posté par re : Bobines de Helmholtz 11-01-16 à 14:03

Pour mieux comprendre la réalité physique derrières ces calculs un peu fastidieux, voici les courbes représentant, B1, B2 et B=B1+B2 en fonction de X (unités arbitraires). Les courbes B1 (en rouge) et B2 (en vert) sont deux courbes identiques mais décalées de d.
Premier cas : d > R (1,5 R ici) : les deux courbes sont très décalées : le centre X = 0 correspond à un minimum de B au centre (courbe jaune)
Deuxième cas : d < R (0,75R ici) : les deux courbes sont très peu décalées : le centre X= 0 correspond à un maximum de B.
Cas particulier d = R le décalage est tel que la somme B = B1+B2 est pratiquement constante entre X = -d/2 et X = d/2.
Le fait d'obtenir B=Bx pratiquement indépendant de X entre les deux bobines. Tu as sans doute démontré en cours que dans ce cas-là, le champ est pratiquement uniforme dans une large région autour de l'axe : en pratique dans tout le cylindre délimité par les deux bobines. Les bobines de Helmholtz constitue donc un moyen simple d'obtenir un champ magnétique quasi uniforme dans une région de l'espace de grand volume.

Posté par re : Bobines de Helmholtz 20-01-16 à 13:25

coment peut montrer que B est paire

Posté par re : Bobines de Helmholtz 20-01-16 à 13:54

Bonjour,
$B=B1+B2=Bo\left[\left(1+\left(\frac{d}{2R}+\frac{X}{R}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}+\left(1+\left(\frac{d}{2R}-\frac{X}{R}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\right]$
Si, dans l'expression de B, tu remplaces X par (-X) tu obtiens la même valeur de B !
Voir ton cours de math pour plus de détails...

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