Bonjour, j'ai un DM à rendre lundi composé de plusieurs exercices sur l'analyse dimensionnelle. J'en ai fait quelques uns mais je bloque sur 2 de ces exercices, en espérant votre aide. Je vous donne l'énoncé et mes réponses pour vérification. (vous n'êtes pas obligé de vérifier parce qu'il y a beaucoup de questions ! c'est à partir du 6 que ça bloque)

1. Une corde vibrante de longueur L, de masse M, tendue sous l'effet d'une force F vibre à une fréquence N.
Déterminer par analyse dimensionnelle, la relation entre la fréquence N et les 3 autres paramètres.

N = racine de F / racine de LM

2. Déterminer la dimension des deux paramètres alpha  et beta  qui apparaissent dans la loi :
f = alpha m v + bêta v2
où m s'exprime en kg, v en m/s.

[alpha] = [f] / [m].[v] = (M.L.T^-2)/(M.L.T^-1) = T^-1

et [bêta] = [f] / [v²] = (M.L.T^-2) / (L².T^-2) = M.L^-1

3. déterminez une loi, compatible avec les dimensions, et qui détermine g en fonction des paramètres gravitationnels de la Terre, à savoir sa masse M, son rayon R, et la constante de gravitation G.

F = P = G. M.m / R²
donc : mg = G.Mm / R²
g = G.Mt / (Rt)²

[G.Mt  / (Rt)²] = (L^3.M^-1.T^-2.M) / L²
= L.T^-2 = [g]

4. montrez qu'une pression P est une énergie E par unité de volume V .

La pression a la dimension d'une force par unité de surface :
donc : P = F/S
[P] = [F] / [S] = (M.L.T^-2) / L² = M.L^-1.T^-2

[E] / [V] = (M.L².T^-2) / L^3 = M.L^-1.T^- = [P]
donc : P est une énergie E par unité de volume.

5. calculez la dimension de la permittivité du vide ε0 et de la perméabilité du vide μ0 en sachant que ces deux constantes apparaissent dans les équations suivantes (où F est une force, Q une charge électrique
qui a les dimension [Q] = A. s, L et r des distances, I un courant ):
F = 1 Q² / 4Pi ε0 r²   et F = μ0 LI² / 2Pi r

ε0 = 1 Q² / 4Pi F r²

[ε0] = 1 I².T² / 1 M.L.T^-2.L²
= I².T^4.M^-1.L^-3

μ0 = 2Pi.F.r / L.I²

[μ0] = 1.M.L.T^-2.L / LI²
= M.T^-2.L.I^-2

6. connaissant les dimensions de ε0  et de μ0, construisez :
a) une vitesse c et b) une résistance électrique r.
Sachant que ε0  = 8,85419.10^-12 et que μ0  = 4Pi.10^-7 dans le SI, déterminez numériquement ces deux valeurs c et r.

c'est là que je commence à rencontrer des difficultés.
j'ai juste trouvé la a) et son résultat numérique mais je bloque pour la résistance.

pour c avec la formule : c² = 1 / (ε0 . μ0)
j'ai trouvé L.T^-1.
valeur numérique : 3,00.10^8 m.s^-1

je vous donne maintenant les deux exercices où je bloque :

7. Troisième loi de Kepler

Un satellite gravitant autour d'une planète de masse M, à la distance r a une période de révolution T.
Par analyse dimensionnelle, retrouver la troisième loi de Kepler : G.M.T² = k.r^3, où G est la constante de la gravitation universelle.
Déterminer la constante k à partir des valeurs de la Terre.

J'ai essayé d'isoler k, mais je trouve 1 avec les dimensions. Logiquement, je devrais trouver T² / L^3. Je crois que c'est ça la 3e loi de Kepler.

Et enfin :

8. Une loi des gaz

Une mole d'un gaz obéit à l'équation de Van der Waals :
(p + (a/Vm²) (Vm-b) = RT
où Vm est le volume molaire et T la température en Kelvin.
Dans le cas où l'on exprime les pressions en Pascal (Pa) et les volumes en litres (L), quelles sont les unités de constantes a, b et R ?

Voilà, je vous remercie d'avance pour l'aide que vous m' accorderez.
En espérant pouvoir terminer mon DM !