Niveau terminale

Activité d'un échantillon de noyaux radioactifs

Posté par
Myfuneralofheart 03-09-09 à 20:34

Bonjour à tous,

Je reviens sur ce forum pour une aide à la compréhension et à un calcul de l'activité d'un échantillon de noyaux radioactifs.

La variation du nombre de noyaux radioactifs N pendant un intervalle de temps t est donné par la formule :
N = -Nt

Maintenant, l'activité mesure le nombre de désintégrations par unité de temps, donc ici :

A = N / t = N

Supposons que l'on dispose d'un échantillon de 10⁶ noyaux radioactifs identiques, chaque noyau aurait une chance sur mille de se désintégrer à chaque seconde, donc : 1_noyau = 1_chance / 1000 en une seconde, soit 10_noyaux⁶ = 1 000 000 / 1000 = 1000 ; donc en une seconde, mille noyaux se désintègrent.
La variation du nombre de ces noyaux serait de 10⁶ - 10³ 10⁶

Calculons maintenant :

De N = -Nt , on tire
= -N / Nt

Donc -10³ / 10⁶ * 1 = 10^-3 s^-1 ; vous êtes d'accord ?

Bon, maintenant, on demande de calculer l'activité de l'echantillon, donc c'est assez simple, on a :

A = 1000 / 1 = 10^-3 * 10⁶ = 10³ Becquerels ; Okay ? bon...

Maintenant, au bout de 11 minutes et 30 secondes (soit 690 secondes), la moitié des noyaux radioactifs ont été désintégrés,, activité de l'échantillon ?

Alors, on sait que A = N soit ici : A = 1/2(N) ; donc 500 becquerels.
Mais, la moitié des noyaux étant désintégrés, il ne nous reste plus que 1/2(10⁶) soit 500 000

Si on applique çà, avec le temps en secondes (690) je ne trouve pas le même résultat qu'auparavant (500 becquerels)

A = 500 000 / 690 = 724.6 ....

Où est-ce que je me suis trompé ?

Merci

Posté par re : Activité d'un échantillon de noyaux radioactifs 04-09-09 à 09:14

Si on applique çà, avec le temps en secondes (690) je ne trouve pas le même résultat qu'auparavant (500 becquerels)

A = 500 000 / 690 = 724.6 ....

Où est-ce que je me suis trompé ?
------------------------
Confusion entre les petites variations d'une fonction et les grandes....

$\frac{dN}{dt}=\lambda N\quad \neq\quad \frac{\Delta N}{\Delta t}=\lambda N$
Le calcul $\lambda=10^{-3} \text{s}^{-1}$ est correct donc $A=N\lambda=500 000\times 10^{-3} \text{s}^{-1}=500$ becquerel

Posté par re : Activité d'un échantillon de noyaux radioactifs 04-09-09 à 11:18

Okay. Donc si par exemple on veut calculer çà à partir de la formule : dN / dt et non pas N, comment fait on ? que représente ces "petites variations" par rapport aux "grandes" ?

Posté par re : Activité d'un échantillon de noyaux radioactifs 04-09-09 à 11:46

$dN/dt$ représente l'activité du composé radioactif à l'instant t, c'est en fait l'expression de la vitesse d'une réaction du premier ordre ce qui fait que $dN/dt= -\lambda N$ ce qui s'écrit encore $dN/N= -\lambda dt$ .

La primitive de $dN/N$ est $\ln(N)$ et l'évolution temporelle du nombre de particules radioactives s'écrit : $\ln(N)=-\lambda t+\text{cst}$ où la cst, la constante d'intégration vaut $\ln(N_0)$ . Relation qui s'écrit encore $N(t)=N_0\times \exp(-\lambda t)$ .

La relation $dN/dt=-\lambda t$ qui correspond à la dérivé de $N(t)$ n'est donc valable que pour des valeurs de $N(t)$ pour lesquelles on peut confondre en un point du graphe de N(t) avec celui de sa tangente $\frac{dN}{dt}\approx \frac{N(t_2)-N(t_1)}{t_2-t_1}$

Posté par re : Activité d'un échantillon de noyaux radioactifs 04-09-09 à 12:00

Merci pour l'explication Barbidoux,

je n'ai pas encore étudié ni l'exponentielle ni les équa différentielles de premier ordre, ni la fonction logarithme, je ne peux donc pas tout comprendre dans ce que tu as dis, bien que j'ai compris grossièrement l'idée générale.
Pour l'instant afin de faciliter le calcul par rapport à ce que je n'ai pas encore étudié, je peux donc dire que la moitié étant désintégrée, l'activité est de A = 1/2(N) ?
Merci à toi

Posté par re : Activité d'un échantillon de noyaux radioactifs 04-09-09 à 12:07

L'activité, par définition, c'est toujours $A(t)=\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)$ . Donc au départ $A(0)=\frac{dN(0)}{dt}=-\lambda N(0)$ et au temps $t_1=690$ s pour lequel la moitié des noyaux radioactifs ont été désintégrés
$A(t_1)=-\lambda N(t_1)=-\lambda N(0)/2$

Posté par re : Activité d'un échantillon de noyaux radioactifs 04-09-09 à 12:16

C'est plus clair là

Un grand merci à toi Barbidoux

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