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Accélération tangentielle

Posté par
bechelly1 15-03-23 à 15:39

Bonjour j'ai besoin d'aide dans cet exercise.

Dans un repère (O, , ), le vecteur position d'une particule en mouvement est:
\vec{r}(t) = t.\vec{i} + (t²+1).\vec{j} dans le S.I.

a) Trouvez la position du mobile à l'instant t=0.
La position de la particule est (0;1)

b) Déterminez sa trajectoire.
J'ai trouvé que la trajectoire est parabolique.

c) Déterminez le vecteur vitesse à l'instant t=1s.
Le vecteur vitesse est:
\vec{V} = \vec{i} + 2t\vec{j}
\vec{V} = \vec{i} + 2\vec{j}

d) Déterminez son accélération à un instant t.
Le vecteur accélération est:
\vec{a} =2\vec{j}
Donc, a=2 m/s²

e) Déterminez l'accélération tangentielle à un instant t.

f) Déduisez la valeur de l'accélération normale.

g) Calculez le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant t=0s.


Ma question est dans la partie e. Premièrement, dois-je calculer \vec{a}_{t}
ou a_{t}?

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 15-03-23 à 17:12

Bonjour
L'énoncé n'est pas très clair effectivement. J'aurais tendance à penser, vue la différence de formulation entre les questions e) et f) qu'en e), il faut obtenir le vecteur accélération tangentielle et qu'en f), il faut se contenter de la norme du vecteur accélération normale.

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 17:24

D'accord, pour chercher \vec{a}_t que dois-je faire?
Il y a une méthode pour cela autre que:
\vec{a}=\vec{a}_{t} + \vec{a}_{n}.

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 15-03-23 à 17:35

Oui, il y a une méthode mais elle n'est pas au programme de la classe de première en France. L'expression générale de l'accélération tangentielle est :

\overrightarrow{a_{t}}=\dfrac{d\Vert\overrightarrow{v}\Vert}{dt}\cdot\overrightarrow{u_{t}}

où \overrightarrow{u_{t}} est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. Il s'agit donc d'un vecteur ayant la direction et le sens du vecteur vitesse. Puisqu'il s'agit aussi d'un vecteur unitaire :

\overrightarrow{u_{t}}=\dfrac{\overrightarrow{v}}{\Vert\overrightarrow{v}\Vert} .

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 17:56

Je viens de lire dans mon livre que \vec{a}_{t} =V' ce qui correspond à la formule que vous m'aviez donné. En appliquant cette formule, je déduis que \vec{a}_{t}=0 m/s^2
(Remarque: je ne vis pas en France)

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 15-03-23 à 18:07

Citation :
je ne vis pas en France

C'est bien ce que j'avais deviné ! Juste une remarque : si tu veux poster à l'avenir d'autres messages, il serait préférable de les placer dans la rubrique "Supérieur" mais cela ne va pas m'empêcher de t'aider cette fois-ci !
Ici, la norme du vecteur vitesse n'est pas constante. Il faut partir de l'expression générale du vecteur vitesse :

\vec{V} = \vec{i} + 2t\vec{j}
et non du cas particulier t=1s.

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 18:20

Maintenant, pour f), je dois calculé l'accélération normale. Pour cela quelle formule dois-je appliquer?

\vec{a}=0+\vec{a}_{n}
Donc \vec{a}_{n}=2\vec{j}
Et parsuite a_{n}=2 m/s^2

ou

a_{n}=\frac{V^2}{R}=\frac{1+4t^2}{1}

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 18:32

C'est noté pour la rubrique.
Donc \vec{a}_{t}=\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}} m/s^2

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 15-03-23 à 18:49

Il s'agit de la norme (si t>0) de l'accélération tangentielle, pas du vecteur :

a_t=\dfrac{4t}{\sqrt{1+4t^2}}
en m/s2 si t est exprimé en secondes.
Pour la norme de l'accélération normale, tu peux partir de la relation vectorielle déjà écrite :

\vec{a}=\vec{a}_{t} + \vec{a}_{n}
et remarquer que, quel que soit t :

\overrightarrow{a_{t}}\perp\overrightarrow{a_{n}}
Cela va te permettre d'obtenir une relation entre les normes de ces trois vecteurs.

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 19:00

Effectivement, j'ai commis l'erreur de mettre un vecteur.
Avant de calculer l'accélération normale pouvez-vous me dire si ce que j'ais écrit en dessous est vrai?


Si \vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}

alors

a=a_{t}+a_{n}

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 15-03-23 à 19:09

Non ! Les vecteurs accélérations normale et tangentielle ne sont pas colinéaires mais orthogonaux comme écrit dans mon précédent message.
Piste de réflexion : élever au carré la relation entre les trois vecteurs...

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 19:25

\vec{a}^2=\vec{a}_{t}^2+\vec{a}_{n}^2

Mais j'ai 2 inconnues: \vec{a}_{t{ et \vec{a}_{n}

J'ai la norme du vecteur \vec{a}_{t} mais non le vecteur en soi.

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 15-03-23 à 19:29

Il y a une différence entre le carré d'un vecteur et le carré de sa norme ???

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 19:34

Non

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 15-03-23 à 20:08

Pour être très clair :

\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}

On élève au carré :

\Vert\overrightarrow{a}\Vert^{2}=\Vert\overrightarrow{a_{t}}\Vert^{2}+\Vert\overrightarrow{a_{n}}\Vert^{2}+2\overrightarrow{a_{t}}.\overrightarrow{a_{n}}

Le produit scalaire est nul puisque les vecteurs concernés sont orthogonaux. Cela conduit à :

\Vert\overrightarrow{a_{n}}\Vert=\sqrt{\Vert\overrightarrow{a}\Vert^{2}-\Vert\overrightarrow{a_{t}}\Vert^{2}}

Les normes du vecteur accélération et du vecteur accélération tangentielle ont été obtenues précédemment...

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 20:13

J'ai fais de même, et j'ai obtenu:

\vec{a}_{n}^2=(2-\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}})(2+\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}})

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 15-03-23 à 20:21

Désolé, sans le vecteur sur a_{n}.
j'applique la racine, je simplifis, et j'obtiens:

a_{n}=\frac{2}{\sqrt{1+4t^2}} m/s^2

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 15-03-23 à 21:52

D'accord avec ton expression de la norme de l'accélération normale.

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 16-03-23 à 07:49

Il me reste g), la dernière partie.
C'est quoi le rayon de courbure? (cela n'est pas indiqué dans mon livre; j'ai l'abscisse angulaire, la vitesse angulaire... mais pas le rayon de courbure)

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 16-03-23 à 10:49

Isole par la pensée un très petit élément de la trajectoire. Ce petit élément peut être assimilé à un petit arc de cercle de rayon .
est le rayon de courbure de la trajectoire au centre du petit élément choisi. Pour un cercle le rayon de courbure est constant et égal au rayon du cercle. Pour une droite, le rayon de courbure est infini. Pour une parabole il varie suivant la position en étant maximum au sommet de celle-ci. On démontre, par analogie avec le mouvement circulaire :

a_n=\dfrac{v^2}{\rho}
Tu peux donc obtenir l'expression du rayon de courbure.

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 16-03-23 à 12:09

Merci pour cette explication bien détaillée!
Si j'applique la formule que vous m'aviez donné:

= \frac{(\sqrt{1+4t²)}³}{2} radians.

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 16-03-23 à 13:04

Excusez-moi, mètre et non pas radians.

Posté par
vanoisere : Accélération tangentielle 16-03-23 à 13:17

D'accord  ! Tu peux vérifier que est minimum pour t=0 c'est à dire au sommet de la parabole, ce qui est intuitivement évident.

Posté par
bechelly1re : Accélération tangentielle 16-03-23 à 14:12

D'accord, merci beaucoup pour votre temps


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