Fiche de physique

PHYSIQUE - Partie 3 : Evolution temporelle des systèmes mécaniques

Mouvement des satellites et des planètes

I. La force de gravitation universelle

Système : un satellite de masse m_s et de centre d'inertie S.

Référentiel : géocentrique galiléen.

Bilan des forces : la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite. Mouvement des satellites et des planètes : image 5

Loi de gravitation universelle énoncée par Newton :

Deux objets ponctuels T et S, de masses Mt et m_s , s'attirent avec des forces opposées dont la valeur est proportionnelle aux masses de T et S et inversement proportionnelles au carré de la distance qui sépare T et S : $\boxed{\overrightarrow{F}_{_{T/S}}=-G\dfrac{Mt\times m_{s}}{d^2}\overrightarrow{n}}$

II. Les lois de Kepler

Système : planète quelconque.

Référentiel : héliocentrique (= référentiel de Kepler).

Bilan des forces : la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la planète.

1^ère loi de Kepler (LOI DES TRAJECTOIRES)

Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S du Soleil est l'un des foyers.

Mouvement des satellites et des planètes : image 6

2^ème loi de Kepler (LOI DES AIRES)

Pendant une durée $\Delta t$ , le rayon qui joint le centre S du Soleil au centre de la planète balaie une aire $\Delta A$ constante quelle que soit la position de la planète sur son orbite.
$\dfrac{\Delta A}{\Delta t}$ dépend de la planète considerée;

Mouvement des satellites et des planètes : image 3

$A_1=A_2=A_3$

3^ème loi de Kepler (LOI DES PERIODES)

Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi grand axe a est le même : $\dfrac{T^2}{a^3}=K$ .

$T$ : période de révolution de la planète (en s)
$a$ : demi-grand axe de l'ellipse (en m)
$K$ : constante qui dépend de l'astre autour duquel la planète est en mouvement.

Démonstration (dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme) :

Système : planète

Référentiel : héliocentrique

Bilan des forces : force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la planète.

On considère une planète de masse m en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil de masse Ms. La distance entre le Soleil et la planète vaut r.
Mouvement des satellites et des planètes : image 7

Mouvement des satellites et des planètes : image 7

On se place dans un repère de Frenet (repère mobile), on a
$\overrightarrow{a}=\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}+\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{T}$
Ici, la vitesse est constante donc $\overrightarrow{a}=\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}$

Appliquons la deuxième loi de Newton :

$\overrightarrow{F}_{_{S/P}}=m\overrightarrow{a}$

Or $\overrightarrow{F}_{_{S/P}}=G\times\dfrac{m\times Ms}{r^2}\overrightarrow{N}$ et $\overrightarrow{a}=\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}$

On a donc $G\times\dfrac{m\times Ms}{r^2}\overrightarrow{N}=m\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}$

Ce qui équivaut à $\boxed{v^2=\dfrac{G\times Ms}{r}}$

Exprimons la période de révolution T en fonction de v et r.

A l'aide de la formule $v=\dfrac{d}{t}$ , on trouve $v=\dfrac{2\pi r}{T}$ (en effet, d = périmètre du cercle de rayon r)
En élevant au carré, on obtient $\boxed{v^2=\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}}$

En égalisant les deux formules que l'on vient de trouver, $\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}=\dfrac{G\times Ms}{r}$
En simplifiant, on trouve $\boxed{\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\times Ms}}$

Remarque : les lois de Kepler sont applicables aux mouvements des satellites de la Terre étudiés dans le référentiel géocentrique.

Merci à gbm

/ Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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