Fiche de physique - chimie
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Mouvement des satellites et des planètes

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I. La force de gravitation universelle

Système : un satellite de masse ms et de centre d'inertie S.
Référentiel : géocentrique galiléen.
Bilan des forces : la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite.
Mouvement des satellites et des planètes : image 5


Loi de gravitation universelle énoncée par Newton :
Deux objets ponctuels T et S, de masses Mt et ms , s'attirent avec des forces opposées dont la valeur est proportionnelle aux masses de T et S et inversement proportionnelles au carré de la distance qui sépare T et S :
\boxed{\overrightarrow{F}_{_{T/S}}=-G\dfrac{Mt\times m_{s}}{d^2}\overrightarrow{n}}



II. Les lois de Kepler

Système : planète quelconque.
Référentiel : héliocentrique (= référentiel de Kepler).
Bilan des forces : la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la planète.

1ère loi de Kepler (LOI DES TRAJECTOIRES)

Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S du Soleil est l'un des foyers.


Mouvement des satellites et des planètes : image 6


2ème loi de Kepler (LOI DES AIRES)

Pendant une durée \Delta t, le rayon qui joint le centre S du Soleil au centre de la planète balaie une aire \Delta A constante quelle que soit la position de la planète sur son orbite.
\dfrac{\Delta A}{\Delta t} dépend de la planète considerée;


Mouvement des satellites et des planètes : image 3

A_1=A_2=A_3


3ème loi de Kepler (LOI DES PERIODES)

Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi grand axe a est le même : \dfrac{T^2}{a^3}=K.


T : période de révolution de la planète (en s)
a : demi-grand axe de l'ellipse (en m)
K : constante qui dépend de l'astre autour duquel la planète est en mouvement.


Démonstration (dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme) :

Système : planète
Référentiel : héliocentrique
Bilan des forces : force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la planète.

On considère une planète de masse m en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil de masse Ms. La distance entre le Soleil et la planète vaut r.
Mouvement des satellites et des planètes : image 7

On se place dans un repère de Frenet (repère mobile), on a
\overrightarrow{a}=\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}+\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{T}
Ici, la vitesse est constante donc \overrightarrow{a}=\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}

Appliquons la deuxième loi de Newton :

\overrightarrow{F}_{_{S/P}}=m\overrightarrow{a}

Or \overrightarrow{F}_{_{S/P}}=G\times\dfrac{m\times Ms}{r^2}\overrightarrow{N} et \overrightarrow{a}=\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}

On a donc G\times\dfrac{m\times Ms}{r^2}\overrightarrow{N}=m\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{N}

Ce qui équivaut à \boxed{v^2=\dfrac{G\times Ms}{r}}

Exprimons la période de révolution T en fonction de v et r.

A l'aide de la formule v=\dfrac{d}{t}, on trouve v=\dfrac{2\pi r}{T} (en effet, d = périmètre du cercle de rayon r)
En élevant au carré, on obtient \boxed{v^2=\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}}

En égalisant les deux formules que l'on vient de trouver, \dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}=\dfrac{G\times Ms}{r}
En simplifiant, on trouve \boxed{\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\times Ms}}

Remarque : les lois de Kepler sont applicables aux mouvements des satellites de la Terre étudiés dans le référentiel géocentrique.
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