Niveau maths spé

Oscillation de relaxation d'une lampe à néon

Posté par
Ystalio 09-06-15 à 17:56

Bonjour,

Je suis en galère sur ce circuit... (voir figure).

Fonctionnement de la lampe :
Eteinte : Assimilée à un interrupteur ouvert.
Allumage : s'allume dès que $U<V_{a}$
Allumée : Assimilée à une résistance r.

à t=0, le condensateur est déchargé et la lampe éteinte.
On en déduit l'équation différentielle suivante :

$U(t)=E(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$

On en déduit le temps au bout duquel $U(t_{0})=V_{a}$

$t_{0}=\tau ln(\frac{E}{E-V_{a}})$

Je ne vois pas comment déterminer la nouvelle équation différentielle...
avec la loi des mailles et des noeuds je me retrouve sur une impasse (enfin j'ai l'impression en tout cas).

la loi des noeuds me donne : $I=i_1 + i_2 \iff \frac{dq}{dt}=\frac{dq_1}{dt}+\frac{dq_2}{dt}$

puis les lois des mailles :
$E -R\frac{dq}{dt}-r\frac{dq_1}{dt}=0$
$-r\frac{dq_1}{dt}-\frac{q_2}{C}=0$

Ma question est donc, comment obtenir l'équation différentielle à partir de là ? Si il suffit des lois des mailles et des noeuds exprimée ci-dessus, je veux bien voir comment car je tourne en rond...

Ps : en écrivant le post j'ai retenté et suis arrivé à cela :

$\frac{dq_2}{dt}-\frac{R+r}{rR}\frac{q_2}{C}=E$

et j'en déduit : $q_2(t)=\lambda e^{\frac{R+r}{rRC}t}-\frac{ECrR}{R+r}$

seulement je ne parviens pas à en déduire $\lambda$
mes conditions initiales sont maintenant : $q_2(t_0)=\frac{V_a}{C}$

Je suis sensé obtenir quelque chose de ce genre là... :

$U(t)=E+(V_a-E)e^{-(t-t_0)/\tau$

$Oscillation de relaxation d\'une lampe à néon$

Posté par re : Oscillation de relaxation d'une lampe à néon 09-06-15 à 18:42

Il est préférable de s'en tenir aux grandeurs $U$ et $I$ pour établir les équations.

Écris la loi des nœuds sous la forme $C\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}+\frac U r = I$ .

La loi des mailles donne immédiatement $E=RI+U$ .

Il ne reste qu'à faire disparaitre $I$ ...

Posté par re : Oscillation de relaxation d'une lampe à néon 09-06-15 à 18:50

Oulala, qu'est-ce que je m'étais compliqué la vie !
Merci !

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