Bonjour,
Il me semble que mouvement se compose de 2 phases :
un lancer vers le haut , mouvement avec décélération jusqu'à 25 m/s
et le mouvement horizontal à vitesse constante .
Et le tout sur une distance de 100 m  .
La vitesse horizontale n'est pas sur 100 m ...

On supposa le problème comme balistique (bien que ce soit faux) sans frottement (puisque V horizontale constante pendant le "vol").

V horizontale = 100/4 = 25 m/s (= Vo.cos(alpha))

v verticale = Vo.sin(alpha) - g*t

v verticale(0) = Vo.sin(alpha)
v verticale(4) = Vo.sin(alpha) - 4g

et v verticale(0) = - v verticale(4)
--> Vo.sin(alpha) = -Vo.sin(alpha) + 4g
Vo.sin(alpha) = 2g = 2*9,81 = 19,62 m/s

Vo.sin(alpha)/(Vo.cos(alpha)) = 19,62/25
tg(alpha) = 0,7848
alpha = 38,125°

Vo.cos(38,125°) = 25
Vo = 31,8 m/s

Le javelo a donc été lancé à une vitesse de 31,8 m/s avec un angle de 38,125° par rapport à l'horizontale.

Dans ces conditions, on a bien une portée de 100 m et un "vol" durant 4 s.
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Sauf distraction.  

Merci! cette démonstration est très claire. Cependant, j'aurais juste une petite question est-il possible de résoudre par une intégrale ?

Un peu autrement :

d²z/dt² = -g
dz/dt = -gt + K

Soit VVo la composante verticale de la vitesse en t = 0 ---> K = VVo

dz/dt = -gt + VVo

z = -gt²/2 + VVo.t + zo

Or zo = 0 (lancé du sol (pratiquement)

z = VVo.t - gt²/2

Touche le sol pour z = 0 donc à l'instant t1 tel que --> pour VVo.t1 - gt1²/2 = 0 (avec t1 différent de 0)

VVo.t1 - gt1²/2 = 0
VVo - gt1/2 = 0
VVo = g.t1/2
Or on sait que t1 = 4 s --> VVo = 9,81 * 4/2 = 19,62 m/s

La vitesse horizontale étant vH = 100/4 = 25 m/s

La vitesse initiale est donc V = racinecarrée(19,62² + 25²) = 31,8 m/s

Et pas demandé :

L'angle alpha de lancé (par rapport à l'horizontale) est tel que tan(alpha) = VVo/VH = 19,62/25

alpha = 38,125°
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Sauf distraction.