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Effet Doppler et exoplanètes

Posté par
MistK 22-10-14 à 17:43

Bonjour je me retrouve bloqué sur un exercice, voici l'énoncé :
1) Quelle est est la relation entre la fréquence d'une onde, sa célérité et sa longueur d'onde :
\lambda =\frac{c}{f}, où lambda est en mètre, f en Hz et c en m/s.

2)A partie de ces formules : \frac{f_{r}}{f_{e}}=\frac{c}{v+c} (émetteur et récepteur s'éloignent) et \frac{f_{r}}{f_{e}}=\frac{c}{c-v} (émetteur et récepteur se rapprochent)n donner la relation entre \lambda _{r} et \lambda _{e}, dans le cas ou l'étoile s'éloigne et se rapproche de la Terre, en sachant que {f_{e}} est la fréquence mesurée à l'émission, {f_{r}} celle mesurée à la réception, v est la vitesse de l'étoile par rapport à la Terre, et c la célérité de l'onde dans le milieux
\lambda _{r}=\frac{c}{f_{r}} or \frac{f_{r}}{f_{e}}=\frac{c}{c-v} donc f_{r}=\frac{f_{e}\times c}{c-v}
on arrive à \lambda _{r}=\frac{c}{\frac{f_{e}\times c}{c-v}}=\frac{c(c-v)}{f_{e} \times c}

\lambda _{e}=\frac{c}{f_{e}} or \frac{f_{r}}{f_{e}}=\frac{c}{v+c} donc {f_{e}}=\frac{{f_{r}}}{\frac{c}{v+c}}=\frac{f_{r}(v+c)}{c}
on arrive à \lambda _{e}=\frac{c}{\frac{f_{r}(v+c)}{c}}=\frac{c^2}{{f_{r}(v+c)}}

3)Interprétez le décalage d'une raie d'absorption d'une étoile qui se rapproche de la Terre et qui s'éloigne.
Je vais étudiez les formules, ce décalage doit être en lien avec un membre de l'équation.

4) A partir de la question 2, donnez l'expression de la vitesse de l'étoile dans la direction d'observation dans les deux cas en fonction de \left | \Delta \lambda \right |=\left |\lambda _{r}-\lambda _{e}  \right |, \lambda _{e} et la vitesse de la lumière c

Si vous pouviez m'indiquer si les précédents calculs sont justes, et m'expliquer comment procéder pour la, merci beaucoup

Posté par
Coll Moderateurre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 18:03

Bonjour,

1) D'accord.

2) Deux cas à considérer.
Premier cas : la source se rapproche (le récepteur est immobile : le référentiel lui est lié)
Je suis d'accord jusque :

Citation :
on arrive à \lambda _{r}=\frac{c}{\frac{f_{e}\times c}{c-v}}=\frac{c(c-v)}{f_{e} \times c}

mais il faut continuer et faire apparaître \lambda_e

(ce qui n'est pas difficile)

Puis il faudra considérer le deuxième cas : celui où la source s'éloigne
On te demande à nouveau d'exprimer \lambda_r en fonction de \lambda_e, c et v

Posté par
MistKre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 18:26

Merci de votre aide, en effet :
\lambda _{r}=\frac{\lambda _{e}(c-v)}{c}, pour le premier cas.
Pour le deuxième cas, si on reprend de \lambda _{e}=\frac{c^2}{f_{r}(v+c)}=\frac{\lambda _{r}\times c}{(v+c)}

Le décalage de raie provient donc des membres (v+c) et (c-v) donc \lambda _{e} sera plus grand que \lambda _{r} ?

Posté par
Coll Moderateurre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 18:30

Oui pour le premier cas.

Pour le deuxième cas on te demande d'exprimer \lambda_r en fonction de \lambda_e, c et v
Encore une ligne...

Posté par
MistKre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 18:50

alors \lambda _{r}=\frac{\lambda_{e}(v+c)}{c} ?
Ce qui confirme l'explication du décalage de raie ?

Posté par
Coll Moderateurre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 18:58

C'est bon.

Donc, à retenir : qualitativement si l'étoile s'éloigne la longueur d'onde reçue augmente (par rapport à la longueur d'onde émise)
Inversement, si l'étoile se rapproche, la longueur d'onde reçue diminue (par rapport à la longueur d'onde émise)

Et maintenant, question 4 : le calcul de la vitesse dans les deux cas.
La valeur absolue permet qu'il n'y ait plus qu'une seule relation valable dans les deux cas. C'est pour cela qu'il faut retenir le résultat qualitatif précédent.

À toi !

Posté par
MistKre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 19:30

(On avait pas besoin d'exprimer le dernier résultat pour démontrer le décalage de raie ? A l'appui d'un schéma qui montre que \lambda _{r} < \lambda _{r} , en prenant c>v?)

Alors pour le cas où émetteurs et récepteurs se rapprochent, on repart de :
\lambda _{r}=\frac{\lambda _{e}(c-v)}{c}\Leftrightarrow \frac{\lambda _{r}}{c-v}=\frac{\lambda _{e}}{c}\Leftrightarrow c-v=\frac{\lambda _{r}\times c}{\lambda _{e}}\Leftrightarrow v=-(\frac{\lambda _{r}\times c}{\lambda _{e}})-c

Posté par
MistKre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 19:56

Dans le cas où ils s'éloignent, on repart de :
\lambda _{r}=\frac{\lambda _{e}(v+c)}{c}\Leftrightarrow \lambda _{r}\times c=\lambda _{e}(v+c)\Leftrightarrow v+c=\frac{\lambda _{r}\times c}{\lambda _{e}} \Leftrightarrow v=\frac{\lambda _{r}\times c}{\lambda _{e}}-c

Posté par
Coll Moderateurre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 20:14

Tu ne fais pas le calcul demandé.

Citation :
Donnez l'expression de la vitesse de l'étoile dans la direction d'observation dans les deux cas en fonction de \left | \Delta \lambda \right |=\left |\lambda _{r}-\lambda _{e} \right |, \lambda _{e} et la vitesse de la lumière c


Premier cas : l'étoile se rapproche

On a démontré que \lambda_r\;=\;\lambda_e\, \times\, \dfrac{c\,-\,v}{c}

On en déduit que c.\lambda_r\;=\;c.\lambda_e\,-\,v.\lambda_e
ou
v.\lambda_e\;=\;c.\lambda_e\,-\,c.\lambda_r\;=\;c.(\lambda_e\,-\,\lambda_r)

v\;=\;c\,\times\,\dfrac{\lambda_e\,-\,\lambda_r}{\lambda_e}

et puisque dans ce cas \lambda_e\,>\,\lambda_r

on peut écrire : v\;=\;c\,\times\,\dfrac{|\Delta\lambda|}{\lambda_e}

avec |\Delta\lambda|\;=\;|\lambda_r\,-\, \lambda_e|

Posté par
MistKre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 21:50

D'accord j'ai compris, et quand je refais le même raisonnement avec l'étoile qui s'éloigne, je retrouve :
v=c\times \frac{\lambda _{r}-\lambda _{e}}{\lambda _{e}}

Posté par
MistKre : Effet Doppler et exoplanètes 22-10-14 à 22:38

Pour finir les choses bien on a
v=c\times \frac{\left |\lambda _{r}-\lambda _{e}  \right |}{\lambda _{e}}=c \times \frac{\left |\Delta \lambda  \right | }{\lambda _{e}}
Mais si on fait une application numérique avec {\lambda _{r}=610nm et {\lambda _{e}=530, ça me donne une vitesse de plus de 45 000 km/s, ça me parait astronomique mais ça doit être ça...

Posté par
MistKre : Effet Doppler et exoplanètes 23-10-14 à 01:11

Ça me parait très peu crédible quand même...
Ou alors je n'ai pas compris le document mais il me semblait.

Posté par
Coll Moderateurre : Effet Doppler et exoplanètes 23-10-14 à 07:37

Tout est bon.
Eh oui, on rencontre en astrophysique des valeurs pour lesquelles nous ne sommes pas habitués aux ordres de grandeur (sauf, bien sûr, pour ceux qui ont la chance d'en faire leur métier, ou leur passion).

Posté par
MistKre : Effet Doppler et exoplanètes 23-10-14 à 11:11

En effet ce sont des valeurs que l'on trouve très rarement (dans mon cas), merci beaucoup pour votre aide précieuse.
Grâce à vous j'ai tout compris, encore merci

Posté par
Coll Moderateurre : Effet Doppler et exoplanètes 23-10-14 à 13:26

Je t'en prie.
À une prochaine fois !


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