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amélioration d'un modèle simple
Bonsoir,
Dans le cadre de mon projet de fin d'étude qui porte sur la stabilité d'un hélicoptère de modélisme je viens solliciter votre aide en espèrent que vous allez pouvoir m'aider.
Pour essayer de faire simple j'ai modélisé mon hélicoptère par un rectangle. Je considère qu'au départ mon hélico est en vol stationnaire (donc soumis à l'action de la pesanteur qui s'oppose à la force créée par les pales, toutes les deux de même norme)
toujours dans cette position d'équilibre, je m'intéresse par la suite à l'effet d'un vent latéral sur mon hélico
je définis cette force par :
Soit θ l'angle d'inclinaison de l'appareil par rapport à l'axe initiale du rotor
hypothèse : répartition de pression uniforme sur la surface latérale
On néglige les forces de frottement de l'air
Fv=p.S(θ) Où p=1/2.ρ.(vitesse relative du vent par rapport à l'hélico)^2
et S(θ)=l.h.cosθ et
Objectif : Obtenir l'évolution de l'angle θ en fonction du temps
Pour cela je réalise un PFD au point G en projection sur l'axe de d'inclinaison de l'hélico. En vous passant les calculs j'aboutis à l'équation différentielle suivante :
J*d^2(θ)/dt^2-A*cos(θ)=0 où A et J(inertie autour de l'axe) sont constants et connu.
Cette équation n'étant pas linéaire je l'ai résolu numériquement avec Scilab
Il me trace donc θ(t)
le problème est que j'obtiens un sinus oscillant entre 0 et Pi or j'ai du mal à penser que mon hélico puisse entièrement se retourner. Déja j'ai du mal à voir mon hélico passer la position θ=Pi/2
Pouvez vous m'aider à affiner mon modèle à fin qu'il soit un peu plus cohérent avec la réalité? 
Edit Coll : forum modifié ; initialement posté au niveau Supérieur-Maths spé
bonjour,
je n'ai qu'un seul rotor. Concernant le rotor anticouple je ne l'ai pas représenté car pour moi il ne créé qu'un moment au niveau de l'axe du rotor principale.
Je ne m'intéresse qu'au mouvement de l'hélico dans le plan xOz...
Si la ligne de force de l'action du rotor passe par G, comme la ligne de force du poids passe aussi par G ...
Si la ligne de force de la résultante des forces dues au vent ne passe pas par G ... il y a couple qui fait pivoter l'appareil autour de G.
Pour moi, le centre de gravité d'un hélicoptère est bien plus bas que sur ton dessin.
Pour avoir une position stable, il faut alors "ajuster" la force Fr (due au rotor) pour que les 2 conditions suivantes soient simultanémént réunies.
- La somme vectorielles des 3 forces (Rotor, poids et vent) est nulle.
- La somme des moments de ces 3 forces par rapport à G est nulle.
Et donc l'équation différentielle pour avoir la variation d'angle avec le temps est plus difficile à obtenir, puisqu'elle doit tenir compte de la correction apportée par le pilote sur Fr en court de passage entre l'axe vertical et sa position stable inclinée.
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Sauf distraction ou bêtises. 
Oui je suis d'accord que le point G est plus bas.
Je comprends également ce que vous faites par la suite.
Cependant ce que vous faites me semble être de la Statique or je pensais qu'il fallait que je pose mon problème en Dynamique.
Pour recontextualiser là chose, dans un premier temps je ne m'intéresse pas à l'asservissement de Fr pour etre à l'équilibre. J'essaye sans asservissement de connaitre la loi d'évolution de 
en fonction du temps.
en reprenant votre figure, avec une force Fv ne passant pas par G et que je fais un PFD en G je retombe sur la même équation différentielle du départ et donc toujours une évolution sinusoîdale de entre 0 et Pi...
On ne peut pas ne pas tenir compte des corrections sur Fr en cours d'inclinaison.
Si on a un hélicoptère stable sans vent, Fr compense exactement P.
Si, suite au vent, l'hélicoptère s'incline par exemple, et que Fr ne varie pas, la composante verticale de Fr diminue et ne compense plus P ... et l'hélicoptère ne peut pas rester à altitude constante.
En cours de pivotement, le bras de levier de la force Fv par rapport à G varie ... et il faut aussi en tenir compte.
Bref, pour avoir une équation différentielle convenable du mouvement suite à l'apparition du vent, on ne peut pas "oublier" les corrections impératives sur Fr en cours de mouvement et on doit prendre en compte aussi les variations du bras de levier de la force Fv par rapport à G en fonction de theta.
Il est probable qu'on va trouver que theta va osciller autour de la position d'équilibre notée sur mon dessin dans mon message précédent.
Cette oscillation pourrait être amortie par des réactions adéquates du pilote, mais c'est encore une autre chose.
... Et si on tient compte de plus que Fv ne sera, en pratique, jamais constante (rafales), cela se complique encore.
Donc pour récapituler je vais avoir en plus de la force du vent la force Fr qui va créé un moment en G...
Comme sur cette image : avec Fr de même norme que P
je vais voir ce que ça change
Attention que |Fv| varie avec l'aire de la surface rencontrée de l'hélicoptère par le vent ...
Et pareil pour le point d'application de Fv qui dépend de la forme de l'hélicoptère qui varie aussi avec l'angle.
Bon courage pour tenir compte de cela ... même grossièrement.
Bon alors
comme équation j'ai J*d^2(θ)/dt^2=x()*Fr-y()*Fv
avec Fr = M*g Fv = p.S(θ) où p=0,5*rho*v^2 et S(θ)=l*(h*cos()+p*sin())
je n'arrive pas à exprimer x() et y() je les ai donc pris constant tout deux égaux à 93 mm
après résolution numérique j'obtiens un sinus avec un amplitude inférieur à celle du modèle de départ ( ce qui est plus cohérent je pense )
voila le tracé de (t)
qu'en pensez vous?
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