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equation differentielle RLC transitoire double condensateur
Bonjour.
Je suis en première année à l'INSA, les équations différentielles ne sont introduites vraiment qu'en seconde année.
Le professeur de TD nous a donné un DM "limite niveau" sur le programme d'électromagnétisme.
après plusieurs heures, (au moins 10) j arrive a l'exercice 4 (sur5). il s'agit d étudier un circuit RLC en mode transitoire.
(Nous avons à peine abordés le cours sur l'inductance). par une loi des mailles je determine une équation différentielle correspondant a l'énoncé suivant:
(Schéma de montage)
!--------bobine----------!
! !
//C1 //C2 (la branche de droite doit être raccord mais ca ne marche pas graphiquement)
! !
!---interrupteur----R------!
Dans le circuit ci-dessus, le condensateur C1 porte à l'instant t=O où l'on ferme l'interrupteur K une charge Q0 alors que le condensateur C2 n'est pas chargé. On notera q1 (t) la charge portée à un instant t quelconque par le condensateur C2 La conservation de la charge au sein du circuit nous impose à tout instant q1(t)+q2(t)=Q0. on considère les deux condensateurs de meme capacité C=C1=C2.
A) En appliquant la conservation récepteur pour ce circuit, montrer que l'évolution de la charge q1(t) suit l'équation différentielle suivante:
-après un peu de reflexion je trouve bien ceci.
(d^2q1(t))/dt + (R/L) (dq1(t)/dt) + (2/LC) ((q1(t)- (Q0/2))=0
B) Déterminer l'expression littérale du fourrant i(t) et tracer l'allure de celui-ci en fonction du temps en tenant compte de la condition suivante.
R<2(Sqrt(2L/C)
je suppose qu'il faut determiner la fonction q1(t) ...
mais 2 problèmes se posent:
je n'ai pas de notion plus grande en équa diff que : c'est une relation entre une fonction et sa dérivée..
J'aimerai donc une aide quand a cette résolution.
Puis, une fois q1(t) obtenue, pour trouver I(t), je voulais remonter a la definition I= q/T mais cela me semble peu fructueux car ca refait une dérivée (enfin je me perds peut être du a ma méconnaissance des équa diff)
Je me perds depuis plusieurs heures, merci à l'âme charitable qui voudra bien m'aider, bon dimanche
Edp51mustang
Je pense devoir transformer cela en polynôme de degré 2, éliminer la constante, regarder Delta (qui est négatif)
puis en déduire la forme générale (e^ax(ACosBx+GsinBx))=q(t)....puis ajouter une constante pour tenir compte de l'équation non égale a zéro au début
(e^at(ACosBt+GsinBt)) +cste = q(t)
mais la comment déterminer a,A,B,G?
Bonjour,
Pour résoudre l'équation différentielle, il faut poser que les solutions sont de la forme ert.
Tu remplaces dans l'équation différentielle et tu vas trouver l'équation caractéristique qui est un polynôme en r2.
Le discriminant va être négatif. Tu vas trouver des solutions de la forme a+jb (ou a+ib si tu préfères). Le a (qui doit être négatif) va produire l'amortissement (eat avec a<0) et le b va produire la partie oscillante de la solution. La solution totale est donc de la forme A er1t + B er2t.
Les constantes sont à déterminer avec les conditions initiales.
(d^2q1(t))/dt + (R/L) (dq1(t)/dt) + (2/LC) ((q1(t)- (Q0/2))=0
(d^2q1(t))/dt + (R/L) (dq1(t)/dt) + (2/LC) . q1(t) = (Q0/2) *2/(LC)
(d^2q1(t))/dt + (R/L) (dq1(t)/dt) + (2/LC) . q1(t) = Q0/(LC)
p² + (R/L).p + (2/LC) = 0
p = [-(R/L) +/- V(R²/L² - 8/(L²C²))]/2
Et avec R<2(Sqrt(2L/C) --->
p = [-(R/L) +/- i. V(8/(L²C²) - R²/L²)]/2
p = -(R/(2L)) +/- i. (1/2).V(8/(L²C²) - R²/L²)
q1(t) = Qo/2 + e^(-(R/(2L)).t) * (A.sin((wt) + B.cos(wt))
avec w = (1/2).V(8/(L²C²) - R²/L²)
Il reste donc à déterminer les valeurs de A et de B.
Mais on sait que q1(0) = Qo --->
Qo = Qo/2 + (A.sin(0) + B.cos(0))
Qo = Qo/2 + B
B = Qo/2
Et on sait aussi que (par la présence de l'inductance), on a i(0) = 0 et donc (dq1/dt)(0) = 0
Et donc en dérivant q1(t) ... et en appliquant (dq1/dt)(0) = 0, on trouvera la valeur à donner à A.
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Sauf distraction. 
Un énorme merci à vous pour ces réponses, je vais enfin pouvoir conclure ce DM.
Merci J-P pour ce calcul bien détaillé. Plus qu'à faire jouer les maths pour trouver A
je suppose qu'après pour avoir i(t), il me suffit de garder la dérivée de q1(t) et de remplacer les constantes
(je pense que la courbe de i sera croissante, atteindra imax et re-descendra vers o a l'infini)
Edp51mustang
Je ne comprends juste pas pq c'est -8/L^2C^2 au lieu de -8/LC dans le discriminant (pour moi on a Bcarré-4ac ou ac égal 2/LC ?
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