Commence sans les frottements.

La variation d'énergie cinétique entre O et D est égale à l'opposé de la variation d'énergie potentielle de pesanteur

Ecd- Eco = Epo - Epd, si on suppose qu'en d, le gamin est immobile, i.e Ecd = 0
alors Eco = Epo - Epd = mg*h = 1/2mvo*2 avec h la distance [od].

De manière plus générale, la signification physique de l'énergie potentielle est la suivante: L'énergie potentielle c'est le travail qu'il faut fournir CONTRE toutes les forces extérieures pour exister en un point donné de l'espace. J'ai mis le contre en gros, car cela veut dire qu'il y a une signe "-" pour le travail de la force.

mg*h = 1/2mvo*2 tu peux le retrouver par la conservation de l'énergie mécanique.

Eo= mg*o + 1/2mvo^2
Ed= mg*d + 0
la variation d'énergie mécanique vaut donc Ed-Eo = mg*h - 1/2mvo^2, si l'énergie mécanique est conservée alors Ed-Eo = 0 donc tu retrouves mg*h = 1/2mvo*2.
En présence de frottements, c'est-à-dire de forces non-conservatives l'énergie mécanique n'est pas conservée ! Une partie est dissipée dans le travail contre les frottements. Si les frottements sont constants, de force F et la distance inclinée du toboggan est L, alors le travail contre la force de frottement de d a o, vaut -(-F*L) = F*L.
La variation d'énergie potentielle en de d a o vaut -mgh + FL. Son opposé vaut la variation de l'énergie cinétique donc 1/2mvo^2 = mgh-FL.

On retrouve aussi que la variation d'énergie mécanique est égale à l'énergie perdue dans le travail contre les frottements Ed-Eo = F*L

CQFD

mais je ne vois pas comment tu arrive à la relation f=(m(gh-vo²/2))/L ???

si  1/2mvo^2 = mgh-FL alors FL = mgh - 1/2mvo^2 et donc FL = m(gh-1/2vo^2) => F = m/L(gh-1/2vo^2)..