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Equations horaires du mouvement.

Posté par
Lilouta 30-01-13 à 18:49

Bonsoir j'ai un exercice de physique à faire sur un chapitre qu'on vient de commencer, j'aimerais essayer de le comprendre car je bloque. J'aimerais comprendre la demarche pour obtenir les équations horaires du mouvement.

La nuit tombée, Roméo se tient à une distance d de la maison de Juliette. Il lance un
caillou de masse m vers sa fenêtre de hauteur L et qui est située à la hauteur H du
sol.
La pierre quitte la main de Roméo avec une vitesse initiale, de valeur v, faisant un
angle α par rapport à l'horizontale. À cet instant, elle se trouve à h = 2, 0m du sol.
L'origine du repère d'espace est prise au sol, à l'endroit où se trouve Roméo. L'axe
vertical est orienté vers le haut. Le référentiel est supposé galiléen.
Le champ de pesanteur g est uniforme et vaut 9, 81m.s-2

Données : d = 2,0m ; L = 1,0m ; H = 4,5m ; α = 60˚

1. Schématiser la situation
2. Dans l'hypothèse où la pierre est en chute libre, déterminer son vecteur accélération dans un référentiel terrestre en appliquant la deuxième loi de Newton.
3. Montrer que les équations horaires du mouvement de la pierre sont :
   x(t) = vicos.t
   y(t) = -1/2 g.t² + vi.sin.t + h

4. En déduire l'équation de la trajectoire de la pierre.
5. Roméo lance la pierre avec une vitesse initiale de valeur vi = 10 m/s
La pierre atteindra-t-elle la fenêtre de Juliette ?

J'ai fait la question 1, ainsi que la 2 ou j'ai trouvé que a = g et g étant orienté vers le bas, alors a = -g = -9.81 m.s-2.

Je vous remercie d'avance de vos réponses

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 19:01

Re - bonsoir,

D'accord pour la question 2

Question 3
Accélération :

\vec{a}\; (\rm{en\ m.s^{-2}})\;:\; \begin{array}{|c}0\\-g \end{array}

Conditions initiales (c'est-à-dire pour t = 0 s) pour la vitesse :

\vec{V_i}\; : (\rm{en\ m.s^{-1}})\;\; \begin{array}{|c}V_i.\cos(\alpha)\\V_i.\sin(\alpha) \end{array}

Vitesse en fonction du temps :

\vec{V}(t)\; (\rm{en\ m.s^{-1}})\;:\; \begin{array}{|c}...\\... \end{array}

Conditions initiales pour la position de la pierre :

\vec{OP}\; (\rm{en\ m})\;:\; \begin{array}{|c}0\\2,0 \end{array}

Équations horaires de la pierre :

\vec{OP}(t)\;(\rm{en\ m})\; :\; \begin{array}{|c} x(t)\,=...\\y(t)\,=...\end{array}

À toi !

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 19:14

Citation :
Conditions initiales (c'est-à-dire pour t = 0 s) pour la vitesse :
         Vien m.s-1) Vi = Vicos
                                  Vi = Visin


Moi j'obtiens que Vx = Vicos et Vy = Visin
:/

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 19:14

Et je vous remercie de votre réponse, excusez moi !

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 19:16

Vitesse en fonction du temps :

V(t) (en m.s-1) : Vicos*t
                            : Visin*t ?

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 20:41



Pour chercher la vitesse en fonction du temps il faut chercher les primitives de l'accélération et, bien sûr, prendre en compte les conditions initiales pour la vitesse (ce qui sert à déterminer les constantes d'intégration).

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 20:47

les primitives de l'accélération ?

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 20:53

Oui...

Je fais pour la composante horizontale :

Composante horizontale du vecteur accélération : 0
Primitive : une constante
valeur de cette constante : pour t = 0 s on sait que la composante horizontale de la vitesse vaut Vi.cos()
Donc... la constante vaut Vi.cos()

Donc... la composante horizontale de la vitesse en fonction du temps vaut Vi.cos()

Conclusion : c'est une valeur indépendante du temps, et constante.
On sait déjà que x(t) représentera un mouvement uniforme (puisque la vitesse est constante)

Même travail avec la composante verticale de l'accélération : - g

À toi !

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 21:52

La primitive est toujours une constante ?
Et on fait la composante horizontale du vecteur accélération + constante ?

Alors, composante verticale du vecteur accélération = -g.
Valeur de la constante : pour t = 0s on sait que la composante verticale Visin()

Donc, la composante horizontale de la vitesse vaut -g + Visin()

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 21:58



La primitive de ZÉRO est une constante ! !

Et la primitive de -g quand la variable est le temps, vaut -g.t + constante

Il faut tenir compte de la condition initiale.
Pour t = 0 la vitesse verticale vaut Vi.sin() qui est donc la valeur de la constante

Conclusion :
La vitesse en fonction du temps

\vec{V}(t)\; : (\rm{en\ m.s^{-1}})\;\; \begin{array}{|c}V_i.\cos(\alpha)\\-g.t\,+\,V_i.\sin(\alpha) \end{array}


Même travail d'intégration à partir de la vitesse cette fois, pour la position

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 30-01-13 à 22:04

Mais on a pas encore fais les primitives en cours, pourtant on a commencé le chapitre.. mais on parle pas de primitives dans les équations horaires du mouvement.. Et je sais pas du tout comment on mannipule ça..

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 31-01-13 à 07:57

Résumé de la méthode :

1) Le référentiel : terrestre, assimilé à un référentiel galiléen dans lequel il sera autorisé d'employer les lois de Newton

2) Le système étudié : le caillou

3) Le bilan des forces :
Seule est prise en compte la force due à l'attraction gravitationnelle par la Terre : le poids
Sont négligées, par définition, dans une chute libre la résistance de l'air et la poussée d'Archimède (le caillou étant dans le fluide qu'est l'air)
Résultante de toutes les forces : \vec{F}\;=\;\vec{P}\;=\;m.\vec{g}
Cette résultante :
. est appliqué au caillou supposé ponctuel
. a pour direction la verticale du lieu
. a pour sens du haut vers le bas
(direction et sens sont ceux de \vec{g})
. a pour intensité m.g en notant g la valeur de l'accélération de la pesanteur chez Juliette (qui doit habiter Paris puisque l'énoncé dit que g = 9,81 m.s-2...)

4) Application du principe fondamental de la dynamique
L'accélération \vec{a} à laquelle est soumis le caillou est telle que :

\vec{F}\;=\;m.\vec{a}
Or, puisque
\vec{F}\;=\;\vec{P}\;=\;m.\vec{g}
on en déduit
\vec{a}\;=\;\vec{g}

5) Choix des axes
Le point O est aux pieds de Roméo
L'axe Ox est horizontal, dans le plan passant par la fenêtre de Juliette
L'axe Oy est vertical, orienté vers le haut

6) Coordonnées du vecteur accélération (en m.s-2) :

\vec{a}\; :\; \begin{array}{|c}0\\-g\;=\;-9,81 \end{array}

7) Primitives des coordonnées de l'accélération pour trouver les coordonnées de la vitesse (en m.s-1) en fonction du temps t

\vec{V}(t)\; :\; \begin{array}{|c}constante_1\\-g.t\,+\,constante_2 \end{array}

Les valeurs des deux constantes sont déterminées en considérant les conditions initiales pour la vitesse, c'est-à-dire les valeurs des coordonnées de la vitesse pour t = 0 s

\vec{V}(0)\; : (\rm{en\ m.s^{-1}})\;\; \begin{array}{|c}V_i.\cos(\alpha)\\V_i.\sin(\alpha) \end{array}

On en déduit

\vec{V}(t)\; :\; \begin{array}{|c}V_i.\cos(\alpha)\\-g.t\,+\,V_i.\sin(\alpha) \end{array}

8) Primitives des coordonnées de la vitesse pour trouver les coordonnées de la position (ou équations horaires) (en m) en fonction du temps t

\vec{OP}(t)\; :\; \begin{array}{|c}V_i.\cos(\alpha).t\,+\,constante_3\\-\frac{1}{2}g.t^2\,+\,V_i.\sin(\alpha).t\,+\,constante_4 \end{array}

Les valeurs des deux constantes sont déterminées en considérant les conditions initiales pour la position, c'est-à-dire les valeurs des coordonnées de la position pour t = 0 s

\vec{OP}(0)\; (\rm{en\ m})\;:\; \begin{array}{|c}0\\h\;=\;2,0 \end{array}

On en déduit :

\vec{OP}(t)\; :\; \begin{array}{|c}V_i.\cos(\alpha).t\,\\-\frac{1}{2}g.t^2\,+\,V_i.\sin(\alpha).t\,+\,h \end{array}

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 31-01-13 à 19:15

Ouaw ! Je vous remercie vraiment de votre disponibilité et votre patience ! vraimet !!
Merci beaucoup !

J'ai compris toute la démarche !

Juste une petite question les formules avec les primitives sont toujours les mêmes, fixes ?
Je veux dire, on aura toujours

Vx(t) = constante 1
Vy(t) = -g*t + constante 2

Et OPx(t) = constante 1*t + constante 3
   OPy(t) = t(-1/2g*t + contante 2) + constante 4 ?

Et à nous de chercher constante 1,2,3 et 4 en fonction de la situation ?

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 31-01-13 à 19:52

Réponse : oui si l'accélération n'a qu'une seule coordonnée non nulle.

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 31-01-13 à 19:57

Roméo attirera-t-il l'attention de Juliette ?

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 31-01-13 à 20:47

Très bien, c'est compris alors

Oui, il l'attirera !
D'après l'équation de la trajectoire, j'ai trouvé que si x = 2 ( la distance le séparant de la maison de Juliette) avec h = 2.0 m et = 60° alors y = 4.7.
Or la fenêtre de Juliette est à une hauteur H de 4.5, donc la pierre atteindra le fenêtre de Julia

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 31-01-13 à 20:53

J'ai quelques figures qui attendaient ta réponse depuis ce matin :

Equations horaires du mouvement.

En conservant une vitesse initiale de 10 m.s-1 il faut que l'angle de départ soit compris entre environ 58,0° (trajectoire rouge) et 67,6° (trajectoire bleue) pour atteindre la fenêtre lors de la montée du caillou :

Equations horaires du mouvement.

Une manière beaucoup plus compliquée d'atteindre la fenêtre (le caillou retombe) : il faut que l'angle de départ soit compris entre 83,4° (trajectoire rouge) et 82,7° (trajectoire bleue) (ça c'est du sport ! ) :

Equations horaires du mouvement.

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 31-01-13 à 21:26

Note : la première figure est celle de ton exercice.

Les deux suivantes ne sont là que "pour le fun" ; tu n'as pas à chercher cela !

Posté par
Liloutare : Equations horaires du mouvement. 31-01-13 à 21:34

Ah oui effectivement !
Pour le dernier, je dois dire aussi qu'il faut de la force !

Je vous remercie énormément de votre aide de votre disponibilité et patience ! Merci beaucoup !

Posté par
Coll Moderateurre : Equations horaires du mouvement. 01-02-13 à 07:31

Je t'en prie.
À une prochaine fois !


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