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Calcul d'incertitude


autreCalcul d'incertitude

#msg2153108#msg2153108 Posté le 24-10-11 à 14:10
Posté par Profiljust-lucie144 just-lucie144

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je ne comprend pas quelque chose. Pourriez vous m'aider ?
Le voici :
On mesure le diamètre d'une sphère avec un pied à coulisse. On obtient d=3,27 cm. Calculez la circonférence à l'équateur, la surface et le volume de cette sphère ainsi que les erreurs absolue et relative sur ces grandeurs. Pour pi, utilisez la valeur approchée 3,14.
J'ai calculé le périmètre, l'aire, le volume mais je ne vois pas comment faire pour trouver les erreurs ? C'est un exercice de TD mais nous n'avons pas revu ça en cours.
Par exemple, pour le périmètre, j'ai trouvé 10,27 cm. Comment trouver alors l'erreur absolue et relative ?
Merci
Calcul d'incertitude#msg2153339#msg2153339 Posté le 25-10-11 à 10:32
Posté par Profilprbebo prbebo

Bonjour just-lucie144,

en premier lieu il faut écrire en fonction de D et de pi les relations qui donnent le périmètre P, la surface S et le volume V d'une sphère :
a)  P = 2R = pi.D  (je préfère écrire le diamètre D plutot que d, et R = D/2 est le rayon de la sphère).
b)  S = 4R2 = pi.D2.
c)  v = (4/3)R3 = pi.D3/6.

L'application numérique avec pi = 3.14 donne P = 10.2678 cm, S = 33.5757 cm2, V = 18.29876 cm3. Pourquoi faut-il écrire autant de chiffres ? C'est parce qu'on n'a pas encore calculé les incertitudes : lorsque ce sera fait, on ne gardera que le nombre de chiffres nécessaires.

On aurait pu te donner l'incertitude sur la mesure de D, mais on peut la deviner sachant que la mesure est faite au pied à coulisse, qui travaille au 1/10ième de millimètre. On prendra donc ici d = 0,01 cm pour continuer les calculs. D'une façon générale si on te donne un résultat numérique avec par exemple 2 chiffres après la virgule, c'est que son incertitude porte sur le dernier chiffre : par exemple x = 33.45 m3 donc x = 0.01 m3. Mais ca peut etre plus, bien sur.

En prenant d = 0.01 cm on obtient l'incertitude relative sur D (appelée aussi précision) D/D = 0.0031 ou 0.31 % (pas d'unité).
Sur la valeur de pi on fait aussi une erreur puisqu'on demande de ne garder que deux décimales. On fait  donc une erreur absolue de 3.14 - = -0.00159 et une erreur relative de -0.00159/ = -0.00051 (-0.05 %). L'erreur relative sur étant 6 fois plus petite que celle commise sur D, je pense qu'on peut la négliger.

Voici maintenant les relations qui donnent les incertitudes relatives sur P, S et V :
a)  P/P = D/D + /, = D/D si on néglige l'erreur sur (attention : si tu veux quand meme en tenir compte il faut prendre / = +0.00051, car les incertitudes ne doivent jamais se compenser).
b)  S/S = 2d/D (+ /).
c)  V/V = 3D/D (+ /).

Les incertitudes absolues s'en déduisent en multipliant l'incertitude relative par la valeur de P, S ou V.

Exemple de calcul pour la surface, en négligeant l'incertitude sur :
S/S = 2D/D = 0.0062 soit D = 0.21 cm2. On écrit donc D = (33.58 +/- 0.21) cm2, ou aussi (33.6 +/- 0.2) cm2.

Tu trouveras facilement le reste. Si tu as des questions n'hesite pas.

Prbebo.
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