Ton problème semble loin d'être facile. Je suis déjà allé voir la page wikipedia sur l'arc à poulie, pour voir ce que se faisait dans le domaine.
   D'après ce que j'ai compris, quand on bande un arc à poulie, la force a exercée augmente, puis diminue quand on s'approche de la position de maintien. Avantage : pas besoin de tenir comme une mule avant le tir. Si l'on oublie cette problématique, et qu'on cherche juste à maximiser la puissance de l'arme, à envergure du tireur donné, il faut en effet chercher à tirer à force constante, proche du maximal que peut exercer le tireur.
   Ensuite, j'ai pas très bien compris comment tu voudrais construire ton objet en pratique. Si j'ai bien compris, tu veux enrouler ton élastique sur une vrille, dont le diamètre augmentera au fur et à mesure que tu bandes ton lance pierre. Si tu veux enrouler directement l'élastique, il faudra peut être tenir compte de l'élongation de ton élastique au fur et à mesure que tu tires.
   A ta place, je construirai déjà une spirale avec une poulie et un élastique enroulé, le tout accroché à un bras de levier. Tu pourrais tester si ta force est bien à peu près constante ce qui est loin d'être sûr, compte tenu de l'élongation, et éventuellement de l'angle entre là où t'applique ta force et l'élastique. Pour tester, tu peux par exemple attacher un récipient, que tu attaches à l'élastique. Du au frottement solide avec le support, tu devrais avoir une idée de la force exercée par ton système de ressort pour différente élongation en recherchant la masse maximale que tu peux déplacer. Tu peux par ailleurs mesurer ton coefficient de frottement statique en inclinant ton support et en recherchant un angle de décrochage (méthode classique, que je peux détailler si tu ne connais pas), mais c'est même pas obligé si tu cherches juste à comparer les forces exercées pour différentes élongations.
   Autre suggestion : commencer par recalculer en détail la force exercée par un archer quand il tend l'arc (en se donnant une loi pas trop complexe sur la force de rappel du bois de l'arc, sans partir dans des calculs de poutres déformés). Je ne crois pas que la force soit proportionnelle à d.

Conclusion : je pense que la forme idéale de ta spirale dépend de ton montage. On peut en discuter plus en détail si tu as déjà un plan en tête.

oui j'ai en tête un plan un peu plus précis maintenant.



Ca ne me permet toujours pas de résoudre le problème de façon analytique.

Attention je n'enroule pas l'élastique autour de la spirale (sinon il perdrait en élongation à moins qu'il glisse mais c'est pas évident puisqu'il est en latex).

Non j'utilise une cordre pour transmettre le mouvement.  L'élastique reste rectiligne à tout moment.

Pareil pour le projectile.  Sa trajectoire est rectiligne.  Il est tirée par une autre corde qui s'enroule autour d'un cercle de même axe que la spirale.

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois !     

J'ai pas compris ton schéma. Finalement ce que j'ai retenu, c'est que tu cherches une courbe telle que la distance au centre soit en 1/s, où s serait l'abscisse curviligne le long de cette courbe. Le problème théorique tel qu'énoncé pose déjà un problème pour s -> 0 : la courbe devrait aller à l'infini !
Donc à mon avis faut se donner un seuil de démarrage, type d proportionnel à 1/(s+a).

Ensuite, si on se donne un repère polaire (r,t) par exemple, ça voudrait dire que ta courbe vérifie l'équation :
R = 1/(s+a) où s= int ds
Qu'on peut réécrire R * (s+a) = 1
Si je dérive par rapport à t (theta),

R * ds/dt + (s+a)*dR / dt = 0
Je ne crois pas que ça corresponde à la clothoide, où (dixit wikipedia) la courbure (ds/dt je crois) est proportionnel à s. Ici t'as des termes parasites, qui n'ont aucune raison d'être constant.

Si la résolution explicite t'intéresse, je peux regarder plus en détail, mais il faudrait déjà qu'on s'entende sur la courbe recherchée (c'est plus ça qui me pose problème).

Je crois avoir compris pourquoi tu pensais que c'était une clothoide ...
si on reprend mon expression, écrite sous la forme
s = 1/R On peut penser que l'on a l'abscisse curviligne (s) proportionnelle à une courbure : 1/R.
Mais attention, 1/R n'est pas la courbure ici comme dans la pression de Laplace ! c'est la distance au centre. Et à moins qu'on parle d'un cercle (où, en particulier, la tangente est toujours selon Utheta), le cercle tangent en un point de la trajectoire (même d'une spirale), n'a pas pour centre le centre de la spirale, et pas comme rayon la distance au centre

Ci-joint un plan un peu plus explicite.

Pour le seuil de démarage, cela ne pose pas de problème.  On peut le rendre aussi petit qu'on veut avec une équation radiale du type r=A/(s+a).

J'avais aussi cru au début que l'équation était du type r=1/s, mais il y a le problème des points de tangentes qui bougent légèrement avec le mouvement, ce qui fait que l'abcisse radiale n'est pas tout à fait celle qu'on croit.  C'est un peu dur à analyser, vu que l'équation d'une droite tangente à un cercle est déjà compliquée, alors je ne vous dis pas l'équation d'une droite tangente à une spirale...

Je ne sais plus comment j'ai été amené à m'intéresser à la clothoïde pour ce problème, mais en tout cas quand j'ai vu sa caractérisque, à savoir qu'une clothoïde c'est l'équation d'une courbe qui, parcourue à vitesse constante, donne une accélération angulaire constante.  Ca m'a paru correspondre exactement au problème, mais j'avoue que l'explication n'est pas très claire dans mon esprit, essentiellement à cause de ces considérations de tangentes qui parasitent un peu l'analyse, je trouve.

SPP a écrit:

D'accord, le schéma est beaucoup plus clair !
J'avais du mal à m'imaginer le montage. A partir de là, je pense qu'on peut chercher la courbe tel que le bras de levier soit en 1/L.
Donc on cherche bien la solution de l'équation :

r * (s+a) = 1 en coordonnées polaires, avec r(0)=1 (pour simplifier) s(0)=0. donc a =1.

Comme tu l'as dit, ce a ne change pas grand chose. tu peux par exemple mettre déjà ton élastique sous tension pour éviter le problème du bras de levier infini.

pour résoudre, on écrit s en fonction de r :

s = 1/r -1

Puis on différentie l'expression

ds = - dr/r² avec ds = dr + r dt

d'où (je te passe les étapes élémentaires de calcul)

dr/dt = +- r³ / (1+r²) (le signe doit juste dépendre du sens dans lequel tu enroules )

Pour l'intégrale ça ne pose pas de problème, et on obtient theta en fonction de r. Par contre, je crois que la relation n'est pas inversible. Faudra donc que tu te contentes de l'expression dans ce sens là
Enfin ça te donne déjà une expression exacte, que tu peux tracer avec le logiciel de ton choix, et imprimer la courbe en taille réelle.

oui j'avais obtenu aussi une équation différentielle en r^3/2, mais ça ne me parait pas bon.

Le problème c'est que tu négliges la question de la tangente que tu avais souligné toi-même.

L'abscisse curviligne s est ici celle pour laquelle la corde qui tangente la partie circulaire du treuil.

La corde qui tangente la spirale, autrement dit la corde qui tire l'élastique, est quand à elle tangente en une abscisse curviligne légèrement décalée.   Personnellement je n'arrive pas du tout à voir quelle est cette abcisse curviligne, et ce d'autant plus que cela dépend de la forme de la spirale justement.  J'ai bien peur qu'il faille au mieux une équation différentielle un peu plus complexe, au pire une équation fonctionnelle.

Ceci étant c'est sûrement une bonne approximation.

sinon je viens de penser à une astuce avec un treuil jumeau (cf plan ci-joint)

Ca résout le problème des tangentes puisque là la corde d'étirement reste horizontale.

Du coup la forme en r=1/s est la forme exacte je pense
.

J'étais en train de poster une réponse .
Ca devient plus simple dans ce cas, plus de problème de recherche du point tangent...
Si ce n'est qu'au fur et à mesure, tu vas tirer ton ressort de biais !
Mais à mon avis il y a encore moyen d'améliorer le montage pour arriver à une configuration adéquate

Bonne chance pour la réalisation ... (notamment la vrille spiralée, ça doit pas être de la tarte). A mon avis c'est plus un montage de baliste que de lance pierre portable.

quand je trouverai un peu de temps je ferai un modèle sous Blender.  J'imagine que je pourrai faire la vrille avec un script python.