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Energie potentielle-energie mécanique

Posté par
moctar
13-01-07 à 13:51

Bonjour à tous
j'aurai besoin pour finir mon exo de physique,si vous pouvez aussi coorigé ce que j'ai déja fait
Une masse m est suspendue à l'extrémité inférieure d'un ressot vertical,de masse négligeable,dont l'autre extrémité est fixe.
En étirant le ressort,on amène sont extrémité inférieure dans le plan P qui sera pris comme plan de référence  d'altitude O,puis on abandonne la masse.L'extrémité du ressort effectue des oscillations verticales.
On représente par x l'altitude de l'extrémité à l'instant t et par h son altitude quand le ressort est au repos,détendu.
1/Exprimer l'énergie mécanique du système "ressort,masse m,terre".
En déduire une relation entre la vitesse de la masse à l'instant t et la variable de position x.
2/Pour quelles avleurs de x observe-t-on une viteese nulle de la masse m ?
3/Montrer que l'énergie cinétique du sytème est maximale quand la masse m passe par sa position d'équilibre.
m=0.1kg;g=10N/kg;k=10N/m
Ce que j'ai fait
1)Etant donnée qu'il y a pas de forces non conservatives donc on a:
Em=Em1=Em2=Ec2+Epp2+Epe2 où Em2désigne l'énergie mécanique à l'altitude (h-x)
Em=(1/2)mV2-mg(h-x)+(1/2)k(h-x)2
on a Em1=Ec1+Epp1+Epe1
Em1=0-mgh+(1/2)kh2
Em2=Em1
(1/2)mV2-mg(h-x)+(1/2)k(h-x)2=-mgh+(1/2)kh2
(1/2)mV2=mg(h-x)-mgh+(1/2)kh2-1/2)k(h-x)2
(1/2)mV2=-mgx+(1/2)kx(2h-x)
V2=-2gx+kx(2h-x)/m
V=racine(-2gx+kx(2h-x)/m)
V=racine(-20x+10x(0,3-x)/0.1)
V=racine(-2x+3x-10x2/0,1)
V=racien((-10x2+x)/0,1)
V=0 -10x2+x=0
x(-10x+1)=0 donc les valeurs sont x=0 et x=0,1
Merci d'avance

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 13-01-07 à 18:33

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 13-01-07 à 18:43

voici le dessin

Energie potentielle-energie mécanique

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 11:41

Bonjour moctar,

On va adopter comme origine pour l'énergie potentielle l'altitude 0, c'est-à-dire l'altitude quand la masse est lâchée, sans vitesse initiale, à la position basse, ressort tendu de la valeur h

Quelle est dans cette position initiale (avant le lâcher si tu veux) l'énergie du sytème (l'énergie cinétique est nulle, l'énergie potentielle également ; il n'y a que l'énergie élastique du ressort) ?

Cette énergie va rester constante comme tu l'as bien dit (on suppose que le ressort ne s'échauffe pas et ne dissipe donc pas d'énergie).

Quand la masse est à une hauteur x, avec la vitesse v
. Quelle est son énergie cinétique ?
. Quelle est l'énergie potentielle du système ?
. Quelle est l'énergie élastique du ressort ?

Ceci nous conduira à la solution de la première question.

(C'est un bel exercice !)

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 11:57

Bonjour Coll,
A la position x:
-son énergie cinétique=\frac{1}{2}mv^2
mais l'énergie potentielle du système {masse m;ressort;terre} n'est elle pas égale à la somme de l'énergie potentielle de pesenteur de la masse et de l'énergie potentielle élastique du ressort ?

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:01

mais en prenant le système {masse m;terre} on a :
Epp=-mgx

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:02

Oui, pour l'énergie cinétique 3$ \frac{1}{2}mv^2

Va méthodiquement, je vais t'aider.
Energie potentielle nulle pour x = 0 (position basse).
Quelle est l'énergie potentielle du système quand la masse m est à l'altitude x ?

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:04

Presque...

Epp = +mgx

la masse est plus haute donc l'énergie potentielle est plus élevée que quand la masse est en position basse

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:05

Energie élastique du ressort pour la position x ?

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:08

l'énergie potentielle élastique du ressort=-\frac{1}{2}kx^2

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:12

Non...

Tu peux t'en rendre compte facilement ; pour x = h (quand aucune masse n'est accrochée par exemple) cette énergie est nulle ; ce qui ne colle pas avec ta proposition.

Pourquoi mets-tu un signe négatif ? L'énergie est reçue par le ressort quand tu tires sur lui pour augmenter sa longueur ou que tu le comprimes pour la diminuer.

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:15

donc l'énergie potentielle du système=mgx-\frac{1}{2}kx^2?

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:18

là je suis vraiment perdu ?

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:19

j'avais cru comprendre que plus le ressort se rétréçit plus il perd de son énergie potentielle

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:21

Tu veux aller trop vite
Nous connaissons
l'énergie cinétique
l'énergie potentielle (de gravitation)

il faut encore trouver l'expression de l'énergie élastique du ressort (et le problème sera quasi fini, ne t'inquiète pas)
Energie élastique du ressort (en fonction de k, de h et de x) ?
Tu sais qu'elle est nulle pour x = h

Ce que tu avais écrit (pour cette question d'énergie élastique) le 13 à 13 h 51 n'était pas si mal...

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:23

Message de 12 h 19 :
L'énergie élastique est nulle quand le ressort est "détendu", sans masse accrochée
Elle augmente si tu l'étires (tu fournis un travail qui devient énergie élastique)
Elle augente aussi si tu le comprimes (tu fournis encore un travail)

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:30

Epe=\frac{1}{2}k(h-x)^2?

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 12:38



Le problème est fini !

Tu écris maintenant la conservation de l'énergie.
Juste au lâcher :
énergie cinétique = 0
énergie potentielle de pesanteur = 0
énergie élastique (puisque x = 0) = (1/2).k.h2

Total
0 + 0 + (1/2).k.h2 = (1/2).k.h2

Ensuite à tout autre instant :
énergie cinétique = (1/2).m.v2
énergie potentielle de pesanteur = m.g.x
énergie élastique = (1/2).k.(h-x)2

Total
(1/2).m.v2 + m.g.x + (1/2).k.(h-x)2

Et ces deux totaux sont toujours égaux...

Maintenant :
. expression de v en fonction de x ?
. quelles sont les valeurs de x pour lesquelles v = 0 ?
. quelle est la valeur de x pour laquelle v est maximale ?

Je vais manger. Mais je ne t'abandonne pas... à tout à l'heure !

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 13:00

ok je te poste quand même ce que je trouve donc on a :
\frac{1}{2}mv^2+mgx+\frac{1}{2}k(h-x)^2=\frac{1}{2}kh^2
\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}k^2-\frac{1}{2}k(h-x)^2-mgx
\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}k[h^2-(h-x)^2]-mgx
\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx(2h-x)-mgx
v=\sqrt{\frac{kx(2h-x)}{m}-2gx}
en remplaçant k,m et g par leurs valeurs j'ai:
v=\sqrt{-10(10x^2-x)}
donc v=0 -10(10x^2-x)=0
10x^2-x=0x(10x-1)=0
donc x=0 ou x=0,1 ?

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 13:08

l'énergie cinétique est maximale si v est maximale,donc je peux essayer d'encadrer v ?

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 13:47

D'accord pour ton expression de la vitesse :

3$ v\,=\,\sqrt{\frac{kx(2h-x)}{m}\,-\,2gx}

Deuxième question :
il est plus facile de partir de

3$ E_c\,=\,\frac{1}{2}mv^2\,=\,\frac{1}{2}kx(2h-x)\,-\,mgx

et d'écrire que puisque la vitesse est nulle cette énergie cinétique 2$ E_c est nulle

3$ E_c\,=\,x\[\frac{1}{2}k(2h-x)\,-\,mg\]\,=\,0

donc les racines sont x = 0 et 3$ x\,=\,2\(h\,-\,\frac{mg}{k}\)

J'espère que tu vas chercher à interpréter "physiquement" la valeur de ces deux racines.

Application numérique : on ne peut la conduire au bout sans connaître la valeur de h
x = 0 (c'est la position dans laquelle on a lâché la masse)

3$ x\,=\,2\(h\,-\,\frac{1}{10}\) en exprimant x et h en mètres

Troisième question :
pour quelle valeur de x l'énergie cinétique (et donc la vitesse) est-elle maximale ? (recherche de l'extremum d'un trinôme du second degré). Cette valeur de x est-elle (la réponse est "oui" bien sûr... pourquoi ? ), comme le suggère l'énoncé, celle pour laquelle

Citation :
la masse m passe par sa position d'équilibre


Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 13:54

on a donné h=0,15m

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 14:00

Dans ce cas en effet x = 0,10 m

J'aimerais, ce sera plus facile après avoir répondu à la troisième question, que tu m'expliques ce que signifie cette valeur de x (position haute pour laquelle la vitesse est également nullle)

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 14:13

je n'arrive pas à interpréter ce résultat

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 14:14

On verra plus tard. Fais d'abord la troisième question. Elle devrait te donner des idées.

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 14:30

la masse est en équilibre si P=T donc x'=mg/k donc x=(h-mg/k)?

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 14:35

C'est tout à fait exact.

Et pour quelle valeur de x a-t-on le maximum de

3$ E_c\,=\,\frac{1}{2}kx(2h-x)\,-\,mgx\,=\,-\,\frac{1}{2}kx^2\,+\,(kh\,-\,mg)x

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 15:00

-\frac{1}{2}kx^2+(kh-mg)x=-\frac{1}{2}k[x^2+(\frac{2(kh-mg)}{k})x]
Ec=-\frac{1}{2}k[[x+\frac{(kh-mg}{k})-(\frac{kh-mg}{k})]^2-(\frac{(kh-mg}{k})^2]
[x+\frac{(kh-mg}{k})-(\frac{kh-mg}{k})]^2\ge 0
[x+\frac{(kh-mg}{k})-(\frac{kh-mg}{k})]^2-(\frac{(kh-mg}{k})^2]\ge(\frac{(kh-mg}{k})^2
Ec\le\frac{1}{2}k(\frac{(kh-mg}{k})^2
suis je suis la bonne voie avant de continuer ?

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 15:08

Soit le trinôme du second degré ax2 + bx + c
pour quelle valeur de x la valeur de ce trinôme passe-t-elle par un extremum ?

Ou encore :
Soit la parabole représentative de y = ax2 + bx + c
Quelle est la valeur de l'abscisse de son maximum (pour a < 0) ou de son minimum (pour a > 0) ?

Ou encore :
soit la fonction définie par f(x) = ax2 + bx + c
quelle est sa dérivée f'(x)
pour quelle valeur de x cette dérivée s'annule-t-elle

Au choix... c'est la même réponse

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 15:15

on n'a fait ni l'étude de fonction ni les fonctions mais je vais y réfléchir

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 15:19

Bon, je te donne la réponse :
l'extremum a lieu pour la valeur de la variable x = -b /(2a)

Retour à la dernière question de ton problème ...

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 15:22

donc x=\frac{(kh-mg)}{k}?

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 15:29



3$ x\,=\,h\,-\,\frac{mg}{k}

Tu sais interpréter cette relation (tu l'as fait, avant que je te le demande, dans ton message de 14 h 30).

Donc, regarde bien ces trois valeurs :

vitesse nulle pour x = 0

vitesse maximale pour 3$ x\,=\,h\,-\,\frac{mg}{k}

vitesse nulle pour 3$ x\,=\,2\(h\,-\,\frac{mg}{k}\)

Qu'en penses-tu ?

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 15:51

j'arrive pas à trouver un lien

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 16:01

le ressort oscille entre x=0 et x=2(h-mg/k) ?

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 16:03

Bon, ce n'est pas demandé par ton exercice et tu as déjà beaucoup fait (et bien fait)

Sans la masse l'extrêmité inférieure du ressort est à la hauteur h
Quand il est chargé de la masse il s'allonge proportionnellement au poids m.g et inversement proportionnellement à sa raideur k ; donc il s'allonge de la valeur m.g/k et son extrêmité inférieure se trouve ainsi à la hauteur
h - (mg/k)
qui est la position d'équilibre en l'absence d'oscillations

Quand le ressort est étiré jusque x = 0 il accumule de l'énergie ; la masse lâchée, le ressort utilise cette énergie pour communiquer à la masse de l'énergie cinétique et pour augmenter l'énergie potentielle du système masse-Terre.

Quand la masse est arrivée à la position d'équilibre, le ressort n'a plus d'énergie élastique mais la masse a de l'énergie cinétique et cette énergie cinétique va être utilisée pour redonner de l'énergie élastique au ressort (en le comprimant cette fois) et aussi pour continuer d'augmenter l'énergie potentielle du système masse-Terre ; jusqu'où ? Jusqu'à ce que toute l'énergie cinétique ait disparu, donc jusqu'à la vitesse nulle et ceci aura lieu pour une hauteur au-dessus du point d'équilibre égale à la différence de hauteur entre ce point d'équilibre et le point de départ.
C'est le coefficient 2 qui fait passer de [h - (mg/k)] à 2[h - (mg/k)]

C'était un bel exercice, n'est-ce pas ?

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 16:03

Oui pour ta réponse de 16 h 01 !

Posté par
moctar
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 16:09

oui,c'est un bel exercice,je vais ajouter ça à mes favoris
Merci beaucoup de ton aide.

Posté par
Coll Moderateur
re : Energie potentielle-energie mécanique 14-01-07 à 17:20

Je t'en prie
A une prochaine fois !



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