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Vitesse et direction vent - Relativité restreinte

Posté par
cercus 30-03-18 à 18:02

Bonjour, cela fait depuis plusieurs jours que je bloque sur un exercice :

  Un bateau navigue dans un courant de 5km/h et de 15° (angle de 15° par rapport au nord). La vitesse du bateau par rapport à l'eau est de 10km/h et de 310°. A bord, on mesure un vent apparent de 40km/h et de 350°.

Quel est la vitesse et la direction du vent par rapport au sol ?

Ce que je sais : vent apparent : combinaison du vent réel et du vent vitesse.

Je pose :

Vc = 5km/h, Vb = 10km/h, VA = 40km/h
c = 15°, b = 310°, A = 350°.

Je cherche V qui est la direction du vent et VV la vitesse du vent.

J'ai essayé de faire un schéma mais il y a 2 phrase que je comprend mal dans l'énoncé :

"La vitesse du bateau par rapport à l'eau" -> Pour tracer le vecteur vitesse du bateau, on doit faire un angle de 310° mais en partant du Nord de la rose des vents ou en partant du vecteur vitesse courant ?

"A bord, on mesure un vent apparent de 40km/h et de 350°." Doit on ici partir du nord de la rose des vents ou partir du vecteur vitesse du bateau pour avoir un angle de 310° ?

Posté par
vanoisere : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 30-03-18 à 18:55

Bonsoir
À des vitesses aussi faibles, la théorie de la relativité n'a pas d'intérêt.  Il s'agit d'un simple problème de composition des vitesses. Tu peux caractériser chaque direction par son angle avec un axe orienté vers le nord. Écrire les relations vectorielles et projeter...

Posté par
vanoisere : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 30-03-18 à 19:48

Relations de composition des vitesses :

\overrightarrow{V_{v/t}}=\overrightarrow{V_{v/b}}+\overrightarrow{V_{b/t}}

La vitesse du vent par rapport à un repère terrestre (vitesse absolue) est la somme vectorielle de la vitesse du vent par rapport au bateau (vitesse du vent relatif) et de la vitesse du bateau par rapport au repère terrestre.

\overrightarrow{V_{b/t}}=\overrightarrow{V_{b/e}}+\overrightarrow{V_{e/t}}

La vitesse du bateau dans le repère terrestre (vitesse absolue) est la somme vectorielle de la vitesse du bateau par rapport à l'eau (vitesse relative) et de la vitesse de l'eau par rapport au repère terrestre (vitesse du courant).

Tu devrais pouvoir te débrouiller seul avec cela ! Ce genre d'exercice figure aux épreuves de permis bateau et ce permis n'est pas passé que par des scientifiques !

Posté par
cercusre : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 30-03-18 à 20:15

\overrightarrow{V_{b/t}}=\overrightarrow{V_{b/e}}+\overrightarrow{V_{e/t}}
=> \overrightarrow{V_{b/t}} =\overrightarrow{V_{b}}+\overrightarrow{V_{c}}

|| \overrightarrow{V_{b/t}} || = (\overrightarrow{V_{b}}+\overrightarrow{V_{c}})\cdot (\overrightarrow{V_{b}}+\overrightarrow{V_{c}})  = \overrightarrow{V_{b}}²+\overrightarrow{V_{c}}² + 2*cos(\overrightarrow{V_{b}},\overrightarrow{V_{c}})

Es un bon début ?

Posté par
cercusre : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 30-03-18 à 20:15

Sans les flèches sur V²b et V²c

Posté par
cercusre : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 30-03-18 à 20:25

Et bien sur Vb*Vc avant le cos(Vb,Vc)

Posté par
vanoisere : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 30-03-18 à 20:58

Tu risques de te compliquer la vie ! Utilise la méthode de projection que tu utilises habituellement dans un problème de statique ou de dynamique. En combinant les deux relations précédentes, la vitesse que tu cherches est :

\overrightarrow{V_{v/t}}=\overrightarrow{V_{v/b}}+\overrightarrow{V_{b/e}}+\overrightarrow{V_{e/t}}

Projette cette relation sur un axe (Ox) orienté vers l'est et un axe (Oy) orienté vers le nord. Les normes et les orientations des trois vecteurs à droite du signe « = » sont connus. Tu vas obtenir un système à deux inconnues : la norme du vecteur \overrightarrow{V_{v/t}} et l'angle entre l'axe (Oy) et ce vecteur...

Posté par
cercusre : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 30-03-18 à 21:58

Avec le schéma ci-contre, voici ce que j'obtiens :

V_{v/t}*sin(\alpha ) = -V_b*sin(\alpha_b)-V_c*cos(\alpha_c)- V_a*sin(\alpha_A)
V_{v/t}*cos(\alpha ) = V_b*cos(\alpha_b)+V_c*sin(\alpha_c)+ V_a*cos(\alpha_A)

Vitesse et direction vent - Relativité restreinte

Posté par
cercusre : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 31-03-18 à 11:50

Et avec ces données, je trouve que = 11° (environ) et Vv = 13,33 m/s = 48 km/h

Posté par
vanoisere : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 31-03-18 à 14:27

Si tous les angles sont mesurés à partir de l'axe (Oy), le sens positif étant, comme en marine, le sens des aiguilles d'une montre. Cela donne tout simplement, avec mes notations que je trouve plus explicites :

V_{v/t}.\sin\left(\alpha\right)=V_{v/b}.\sin\left(\alpha_{v/b}\right)+V_{b/e}.\sin\left(\alpha_{b/e}\right)+V_{e/t}.\sin\left(\alpha_{e/t}\right)
deuxième formule analogue en remplaçant les sinus par des cosinus. En laissant les vitesses en km/h et les angles en degrés, on obtient :

V_{v/t}.\sin\left(\alpha\right)=40.\sin\left(350\right)+10.\sin\left(310\right)+5.\sin\left(15\right)

V_{v/t}.\cos\left(\alpha\right)=40.\cos\left(350\right)+10.\cos\left(310\right)+5.\cos\left(15\right)

Évidemment, certains angles peuvent être remplacés par leur complémentaire ou leur supplémentaire mais cela complique inutilement à mon avis.
Je te laisse terminer. Avec la convention d'orientation d'angle choisi, tu devrais obtenir une valeur de voisine de -15°C soit environ 345°...

Je te laisse vérifier tes calculs...

Posté par
cercusre : Vitesse et direction vent - Relativité restreinte 31-03-18 à 14:31

En effet, je l'ai refais et je m'étais trompé dans la projection des vecteurs. Je trouve comme toi .
Merci beaucoup pour ton aide


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