bonjour,

Pour qu'un engin puisse échapper à l'attraction d'un astre, il faut lui communiquer une énergie cinétique supérieure ou égale à l'énergie potentielle de l'engin (c'est à dire (au signe près) au travail de la force de gravitation de l'astre sur l'engin entre l'endroit de départ de l'engin et l'infini).

Supposons un engin de masse m décollant de la surface d'un astre de masse M et de rayon R.

La force de gravitation de l'astre sur l'engin est F = GmM/x² avec x la distance entre le centre de l'astre et l'engin.

Le travail de F depuis le départ (x = R) jusque l'infini se calcule par : W = S(de R à +oo) F dx

W = S(de R à +oo) GmM/x² dx

W = GmM. S(de R à +oo) 1/x² dx = GmM.[-1/x](de R à +oo)

W = -GmM/R

Donc, si on communique à l'engin une énergie cinétique > GmM/R, l'engin pourra voyager jusque l'infini ... donc échapper à l'attraction de l'astre.

Soit v la vitesse à communiquer à l'engin (distant au départ de la distance R du centre de l'astre).

On doit avoir : 1/2 m.v² >= GmM/R

v² >= 2.GM/R

v >= racinecarrée[2.GM/R]

La vitesse de libération est la vitesse la plus faible qui permet à l'engin d'ensuite voyager jusque l'infini ...

On a donc V libération = racinecarrée[2.GM/R]
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Ceci est vrai, si aucune autre force que celle de gravitation de l'astre sur la planète n'intervient.

Si ce n'est pas le cas, donc par exemple s'il y a des forces de frottement (par exemple dans l'atmosphère de l'astre au départ) ou bien si on tient compte des forces de gravitation exercées par d'autres astres sur l'engin, alors il est évident que la vitesse v calculée devrait être différente.

Sauf distraction

Ok, autre question :

Pourquoi l'énergie potentielle gravitationnelle    diminue avec la distance entre les 2 corps alors que l'énergie potentielle de pesanteur augmente avec la hauteur ?

c'est bizarre non ?

D'ailleurs j'imagine que pour construire "g" on prend une valeur définie de "r"  

pourtant après pour l'énergie potentielle de pesanteur on refait varier la distance finallement


   donc le "g" implique qu'on garde une distance constante mais après on observe comment ça varie avec la distance...

Je suis perdu  

Par convention souvent utilisée, l'energie potentielle est prise = 0 à l'infini.

On a donc Ep = - GmM/r (donc négative) avec r la distance entre le centre de l'astre et l'endroit où on calcule la valeur de g.
Avec R le rayon de l'astre, il faut que r >= R.

Et si r diminue, Ep devient de plus en plus négatif, donc Ep diminue si r diminue, donc si l'altitude h diminue. (r = R+h).
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"g" ne veut rien dire si on ne précise pas où il est mesuré.

A une distance r du centre de l'astre (avec r >= Rayon de l'astre), on a g = GM/r²

Dans le cas particulier où on considère g à la surface de l'astre, alors r = R et on a go = GM/R² (le o indique que g est à l'altitude 0 (h=0), donc à r = R).

Si on ne parle que d'expériences à la surface de l'astre, alors on a partout r = R, le "o" de "go" est souvent omis et on note g au lieu de go

Sauf distraction.  

Oui mais justement, une fois qu'on a fixé "g" par rapport à une certaine distance du centre de l'astre, on peut écrire l'énergie potentielle de pesanteur    mais en faisant ça on fait "re-varier" la distance "r" de "h" mètres... il y a une espèce de contradiction là, non ?

g varie avec l'altitude et donc on n'a pas le droit de "fixer" g et puis de faire une S mg.dz pour calculer l'énergie potentielle de pesanteur et penser que cette approche est rigoureuse.

On le fait uniquement si la variation d'altitude considérée est très petite devant la distance r initiale.

C'est une approximation souvent acceptable sous la condition citée ci-dessus.

Mais cela reste une approximation, il ne faut pas alors s'étonner s'il semble en déboucher des contractions si on cherche à en trouver.

Si on veut éviter de se poser de fausses questions, on ne peut pas considérer g comme constante si r varie, mais bien tenir compte du fait que g = GM/r²

Il n'y a plus alors aucune contradiction.

Ok, ça me rassure.

Merci