Bonjour,

Tu peux appliquer le théorème du moment cinétique pour un solide autour d'un axe fixe :

Bonjour gbm,

Merci beaucoup pour ta réponse. J'ai presque trouvé une équation pour exprimer la vitesse de rotation de la meule de comté en fonction de la force de la fusée. Cependant il reste un détail qui cloche dans l'équation qui lie le moment cinétique à la somme des moments.

Sur le lien que tu m'as envoyé, on trouve la relation suivante (avec L = moment cinétique, t = temps et M = moment au centre du solide)

dL/dt = ΣM

L est en kg.m^2.s^-1.rad, donc dL/dt est en kg.m^2.s^-2.rad
Or M est en kg.m^2.s^-2.rad^-1

L'analyse dimensionnelle de l'équation donne :
kg.m^2.s^-2.rad = kg.m^2.s^-2.rad^-1

Les radians changent d'exposant ! Est-ce que tu vois ce qui cloche dans mon raisonnement ?


Image de l'équation telle qu'elle apparaît dans le document :

Bonjour,

Si tu as lu intégralement le lien fourni, il faut adapter ce théorème au cas des solides en rotation autour d'un axe fixe (extrait du lien) :



Tu peux calculer le moment d'inertie de ton cylindre par rapport à l'axe de rotation et calculer le moment exercé par la force de poussée également par rapport à cet axe.

Bonjour gmb,

J'ai en effet tenté cette approche. J'ai pris l'équation suivante :

moment_cinétique(L) = moment_d'inertie(J) * vitesse_angulaire(ω)
L = J * ω

J'ai alors utilisé l'expression du moment cinétique L en fonction des moments M exercés sur le solide :
dL/dt = ΣM

Si mon raisonnement est bon je peux alors réécrire la première formule sous la forme suivante :
L = J * ω
⇔ dL/dt = J * dω/dt
⇔ ΣM =  J * dω/dt
⇔ dω/dt = ΣM  / J

Cette dernière équation me donne bien l'accélération angulaire en fonction des moments appliqués au solide (moments que je peux aisément retrouver en multipliant les forces par les rayons de leurs points d'application). Mais lorsque j'effectue une analyse dimensionnelle sur l'égalité dL/dt = ΣM j'obtiens l'incohérence décrite plus haut.

Est-ce que mon raisonnement est bon ? Et si oui comment m'extirper d'une telle situation ?

Oui, tu as adapté l'extrait du cours fourni !

Maintenant, que valent J et M ?

Dans mon cas le moment d'inertie J vaut
J = (masse * rayon² ) / 2
J = 1,8

Et le moment M vaut
M = force ∧ rayon
M = 0,3

Le problème dans ma démonstration précédente est que je pars du postulat que l'égalité dL/dt = ΣM est juste. Or mon analyse dimensionnelle montre que cette égalité est fausse. Un moment cinétique L est en kg.m^2.s^-1.rad et sa dérivée au cours du temps dL/dt est donc en kg.m^2.s^-2.rad. Cependant le moment d'une force M est en kg⋅m^2⋅s^−2⋅rad^−1. D'un côté un multiplie par des radians, de l'autre on divise par des radians.

Ma source pour trouver les dimensions du moment M et du moment cinétique L est Wikipedia. Cette source est peut-être erronée, l'égalité dL/dt = ΣM est peut-être fausse ou mon analyse dimensionnelle est peut-être inexacte. Ce qui est certains c'est qu'il y a un problème quelque part. Mais je n'arrive pas à trouver lequel ! Est-ce que tu aurais une idée ou une piste de réflexion ? Merci beaucoup !

Attention, il faut absolument mettre une unité à un résultat !

Et le moment de la force de poussée par rapport à l'axe de rotation sera positif si tu prends un repère d'étude direct avec l'axe de rotation est dirigé vers le bas (sinon il est négatif !)

Concernant ton analyse dimensionnelle : Analyse dimensionnelle

[J] est en M.L²
[M] est en M.L².T^-2
[w] est en T^-1 donc [dw/dt] est en T^-2

soit [J.dw/dt] est en M.L²T^-2

ce qui est bien homogène à [M] qui est en M.L².T^-2

Il n'y a donc pas de problème dimensionnel avec l'expression du théorème du moment cinétique fournie.

Bonjour gbm

Merci beaucoup pour ta réponse. Je crois avoir trouvé où se cachait mon erreur.

Je pensais que la dérivée du moment cinétique L  en kg.m².rad.s^-1 valait dL/dt en kg.m².rad.s^-2. Mais si j'ai bien compris, lors du passage à la dérivée, je dois aussi dériver les radians. Donc dL/dt est en réalité en kg.m².rad^-1.s^-2

Si je reprend ton analyse avec les dimensions, T^-1 ne désignerait pas des secondes^-1 mais des radians.secondes^-1

J'ai encore un peu de mal à me représenter la réalité physique derrière ce passage à la dérivée, mais ça a l'air mathématiquement correct.

Bonjour,

Il faut absolument que tu lises attentivement la fiche que je t'ai fournie : le radian n'a pas de dimension !

Maintenant, que valent J et M ?

Bonjour GBM. Excuse-moi pour mon absence de ces derniers jours. J'étais justement en mer !

Dans mon cas le moment d'inertie J vaut
J = (masse * rayon² ) / 2
J = 1,8

Et le moment M vaut
M = force ∧ rayon
M = 0,3

Pour le calcul du moment d'inertie J j'ai utilisé une formule tirée du tableau suivant :

Bonjour Gabiban,

Pourrais-tu détailler tes calculs et fournir une unité aux résultats stp ?