Bonjour,
voilà je bloque à mon exercice et aimerai savoir si vous pouviez m'aider. Enfait je bloque dès la première question, je n'arrive a trouver l'équation différentielle. J'applique le PFD mais je ne sais pas comment représenter les force exercées par les ressorts, leurs sens me perturbent.
Voilà l'énoncé :
Première partie : Oscillateur mécanique
Considérons un mobile supposé ponctuel de masse M astreint à glisser le long dune tige
horizontale de direction Ox. Ce mobile est maintenu par deux ressorts à réponse linéaire dont les
extrémités sont fixées en deux points A et B.
Les deux ressorts sont identiques, ont même constante de raideur k et même longueur au repos l0.
Dans la position déquilibre du système, les longueurs des ressorts sont identiques et valent léq.
Soit O, le point où se trouve le mobile lorsquil est à léquilibre. O constitue lorigine de laxe des x.
Dans un premier temps, on néglige tout frottement.
1/ Létude est menée dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen.
A t = 0, le mobile est abandonné sans vitesse initiale dune position x0 (avec x0 ≠ 0 ).
1/ a/ Faire le bilan des forces appliquées au mobile lorsquil se trouve à un point dabscisse x
quelconque.
Etablir léquation différentielle dont x(t) est solution.
1/ b/ Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique dont on précisera la pulsation et la
période T0 en fonction de k et m. On posera ω²=(2k)/m
1/ c/ Donner lexpression de x(t) en tenant compte des conditions initiales.
2/ Donner les expressions de lénergie potentielle élastique Ep(t) des deux ressorts, de lénergie
cinétique Ec(t) du mobile et de lénergie mécanique totale E(t) du système en fonction de k, x0, ω0 et
t et éventuellement l0 et léq.
Par convention, lorigine de lénergie potentielle élastique correspondra à la position déquilibre, on
aura ainsi Ep = 0 pour x = 0.
Commenter les résultats précédents et particulièrement lexpression de E(t).
La question qui suit prend en compte l'existence de frottements lors du déplacement du
mobile sur son support.
En fait, il existe entre le mobile et la tige horizontale un frottement de type visqueux. La force de
frottement est de la forme : !f = −μ v!
où μ est une constante positive et !v le vecteur vitesse du mobile.
Les conditions initiales sont les mêmes que pour les questions précédentes.
3/ a/ Etablir léquation différentielle dont x(t) est solution.
On posera : ω²=(2k)/3 et h=u/m
3/ b/ Montrer que lorsque μ < 23
2 km , le mouvement est oscillatoire amorti.
3/ c/ Donner lexpression générale de x(t) dans ce cas, sans chercher à calculer les constantes
dintégration.
3/ d/ Exprimer la pseudo-période associée à ce mouvement en fonction de ω0 et h.
3/ e/ Quelle est lénergie dissipée par le frottement pendant la durée totale du mouvement ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide ^^
Bonjour,
Ressort de gauche : allongement leq -l0 +x
Ressort de droite : allongement leq -l0-x
Chaque ressort exerce sur la masse une force, soient T1 et T2. T1 vers la gauche et T2 vers la droite.
T1 +T2 =ma relation vectorielle.
En projetant sur Ox orienté vers la droite :
-k(leq -l0 + x ) +k(leq -l0 -x) = m*x" etc....
A vous lire. JED.
bonjour,
merci beaucoup, j'ai trouvé l'équation différentiellle et réussi à résoudre x(t). Je suis en train de calculer, les énergies en posant X=x(t)-l(0), je trouve les 2 énergies potentielles qui sont opposées telles que Ep(X)=(1/2)mX'² et l'autre Ep(X)=-(1/2)mX'²,
et la je calcule l'énergis cinétique telle que Ec(X')=(1/2)mX'² et l'autre Ec=-(1/2)mX'², mais je ne vois pas comment calculer l'énergie mécanique, car les Ep et Ec s'annule donc sa donne 0.^pourriez vous m'aider ? voilà.
merci encore ^^
Bonsoir,
Quelques indications pour la question 2.
Posons A =léq-l0
Donc Ep = 1/2k(A+x)^2 + 1/2k(A-x)^2 +C
Pour x=0 Ep =0 d'où la constante C.
A la fin vous obtiendrez Ep = k*x^2
Ec = 1/2 mv^2..............
Em= Ep+Ec A la fin du calcul Em = k*x0^2
A vous lire. JED.
Bonjour !
Je vois que le message est ancien mais je ne vais pas publier un nouveau topic étant donné que j'ai exactement le même énoncé. Je bloque juste pour la dernière question :
"Quelle est l'énergie disipée par le frottement pendant la durée totale du mouvement ?"
Je ne sais pas du tout par quoi commencer, sachant que j'ai trouvé x(t)=Ke^(-h/2)cos(sqrt(8km-u²)t+phi) aux questions précédentes, même si le h/2 me surprend.
Voilà, si vous pouviez m'aiguiller s'il vous plait, merci beaucoup =)
en fait tu dois utiliser le théorème de l'énergie mécanique,
car la variation de l'énergie mécanique pendant le mouvement de durée infinie est égale au travail des forces non conservatives donc de la force de frottement fluide.
et tu remplaces et tu les calcul en zéro et + infini
voilà
tu obtiens
W(f)=DE=E(infini)-E(0)
or E(t)=Ec(t)=Ep(t)=(1/2)*m*x'(t)+kx(t)²
calculons en 0 et infini :
x(0)=x0
x'(0)=0
x(infini) tend vers 0 de même pour x'
Soit E(0)=k*x0² et E(infini)=0
donc W(f)=-kx0² ce qui est négatif car le système perd de l'énergie
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