Niveau maths spé

Une formule

Posté par
Elladrane 18-06-13 à 18:29

Bonjour à tous,

J'ai trouvé une formule dans un sujet de concours et j'aurais aimé que quelqu'un m'explique d'où elle vient.
Le sujet s'interressait à l'asservissement d'un vérin en position et on nous donnait cette formule:

Q(t)=Sdx(t)/dt+(V/2B)(dP(t)/dt)

avec Q: le débit
S: la section du vérin
x : le déplacement de la tige du vérin
V: le volume des chambres du vérins
B: le coefficient de viscosité de l'huile
P: la pression

La première partie me semble évidente vu que Q=S*V, mais je ne comprend pas la deuxième.

En cherchant rapidement sur internet je n'ai rien trouvé. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer?

Merci d'avance

Posté par re : Une formule 23-06-13 à 12:59

Hum hum ...

Le $\frac{1}{2}$ m'a un petit peu perturbé, voici ce que je te propose pour arriver à ce modèle de débit:

Si on appelle la masse volumique du fluide, et m la masse de fluide dans le vérin:

$\rho.Q = \frac{dm}{dt}$ avec   $m = \rho.V$

Le fluide ayant un module d'élasticité (B) c'est qu'il est compressible et donc $\rho = \rho(t)$

Donc $Q = \frac{dV}{dt} + \frac{V}{\rho}\frac{d\rho}{dt}  (Eq. 1)$

Or le module de compressibilité se définit comme (cf. Wiki): $B = \rho\frac{dP}{d\rho}$ (un peu rapide mais on développera si tu le souhaites)

Donc $(Eq. 1)$ peut s'écrire

Donc $Q = \frac{dV}{dt} + \frac{V}{B}\frac{dP}{dt}$

On y est presque ...

$\frac{dV}{dt} = S.frac{dx}{dt}$ comme tu l'écris justement

Et le $\frac{V}{B}$ qui devient $\frac{V}{2B}$ je pense qu'il s'agit soit d'une approximation  de volume moyen, soit d'un dispositif avec double chambre (tu emploies "chambres" au pluriel)... Peut être peux tu apporter des précisions?

Le modèle est il plus clair?

Posté par re : Une formule 23-06-13 à 13:54

Je vous remercie pour votre aide.

J'ai trouvé un livre sur la mécanique des fluides et j'ai vu que ça correspondait à un écoulement laminaire caractéristique pour la Loi de Poiseuille qui rejoint ce que vous avez expliqué.

Encore merci.

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