Bonjour à tout le monde!

Je viens de m'inscrire sur ce forum car j'aurais besoin d'aide afin de pouvoir avancer dans mon devoir de Physique Statistique. Pour information je suis étudiante à distance dans un master de Physique Fondamentale, après avoir validé un master de Chimie Théorique. Etant à distance comme certains le savent sûrement, je reçois les cours chez moi et ai régulièrement des devoirs à rendre. Celui-ci est le troisième devoir de physique statistique et je bute pour l'instant sur une partie d'introduction du domaine mécanistique.
Je vous énonce mon problème, dans l'espoir que quelqu'un ici puisse me venir en aide (je croise les doigts).

Enoncé:
On considère un fil de longueur L et masse linéique µ attaché à ses deux extrémités et soumis à une tension . On s'intéresse aux fluctuations de la position du centre du fil et on cherche à en caractériser l'écart type de cette position quand le fil est en contact avec un bain thermique de température T.

1.1 Aspects mécaniques (et oui, je n'en suis que là... ça promet pour la suite)

(je vous résume les résultats que j'ai jusqu'à présent ça vous épargnera de la lecture)

Pour une de fil on considère un faible déplacement. Les petits mouvements sont alors décrits par l'équation:



On passe dans l'espace de Fourier, on utilise les conditions aux limites et pour chaque mode de vibration on aura :



qui est solution d'un équa diff de la forme:

.

Et là... je suis bloquée.
De ce resultat (expression de il faut que je montre qu'on peut associer à chaque mode de vibration n un hamiltonien de la forme:



en spécifiant les notations. Et par la suite évaluer l'énergie en fonction de l'amplitude .


Donc évidemment j'ai essayé de résoudre naïvement l'équation de Schrödinger en prenant comme fonction mon mais je ne tombe pas DU TOUT sur ce qu'on nous demande de vérifier.
Je vois bien que le premier terme est le terme cinétique, je me doute que le second doit avoir une notion de potentiel, mais comment pourrais-je retrouver ce résultat en partant de mon équation?

Pour pouvoir faire la suite de ce devoir je dois d'abord avoir ce résultat (l'avantage des exercices tiroirs... c'est magique!!)...

Merci à ceux qui ont pris le temps de me lire, un plus grand merci encore à ceux qui voudront bien me venir en aide

LilieStidine.