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Travail fourni par période

Posté par
Francois255 01-12-20 à 20:54

Bonjour, voici l'énoncé de l'exercice :

Soit $mx'' + hx' + kx = f(t)$     l?équation du mouvement d?un oscillateur soumis à une force excitatrice $f(t) = F_m cos(\omega t + \psi )$

1) On cherche le déphasage $\varphi_v$ de la vitesse v(t) par rapport à la force ; en particulier, montrer que :

$sin(\varphi v)=\frac{(\frac{\omega_0 ^2}{\omega}-\omega)V_m}{\frac{F_m}{m}}$

$cos(\varphi _v)=\frac{2\alpha V_m}{\frac{F_m}{m}}$

Que représentent $\omega_0$ ,   $V_m$ et $\alpha$ ?

J'ai bien trouvé le sinus et le cosinus.

$\omega_0 ^2= \frac{k}{m}$

$2\alpha =\frac{h}{m}$

$V_m=\frac{F_m}{m}\frac{\omega ^3}{\sqrt {(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2\frac{\omega_0^2}{Q^2}} }$

Et aussi :   $\underline{V_m} =\frac{F_m \omega^2}{m}\frac{j\omega(\omega_0^2-\omega^2) + \omega^2\frac{\omega_0}{Q}}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\omega^2\frac{\omega_0^2}{Q^2}}$

Mais c'est à cette question que je coince :

Déterminer le travail fourni à chaque période T, par la force à l'oscillateur.

Travail élementaire : $\tau =$ $f(t).dx$

$=f(t).v(t)dt = F_mcos(\omega t + \psi).V_mcos(\omega t + \varphi)dt$

$= \frac{F_m V_m}{2}[cos(\psi -\varphi)+ cos(2 \omega t + \psi + \varphi )]dt$

Soit : $\int_{0}^{T}{\tau ...}$ $= \frac{h V_m^2}{2}T$

Voila ce que donne la correction de l'exercice, mais je n'arrive pas à résoudre cette intégrale et à retrouver ce résultat...

Je n'ai aucune piste car je ne vois pas comment me débarasser des fonctions trigonométriques, pour commencer.

**Profil à renseigner* Lire FAQ Q 12 [lien]**

Posté par re : Travail fourni par période 02-12-20 à 12:05

Bonjour
Tu as sûrement vu en cours que la valeur moyenne sur une période d'un sinus ou d'un cosinus est nulle. Tu es ici amené à un calcul assez analogue.

Posté par re : Travail fourni par période 02-12-20 à 14:31

Donc dans ce cas : $\int_{0}^{T}{cos(2\omega t + \psi +\varphi )dt}=0$ ?

Mais : $X=X_m.cos(\omega t + \psi ), V=V_m.cos(\omega t + \varphi )$

$V = \frac{dX}{dt}=-X_m.w.sin(\omega t + \psi )=X_m.w.cos(\omega t +\psi + \frac{\pi }{2})$

d'où, par identification : $\psi + \frac{\pi}{2} = \varphi$

$\psi -\varphi =\psi - \psi -\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$

$cos(\psi -\varphi )=0$ ?

Alors je trouve que le travail vaut 0 ?

Je ne vois pas où est mon erreur ?

Posté par re : Travail fourni par période 02-12-20 à 14:36

Etourderie j'espère : cos(0)=1

Posté par re : Travail fourni par période 02-12-20 à 14:42

$cos(-\frac{\pi}{2})=0$ non ?

En fait, ce qui m'embête et ce que j'ai du mal à comprendre, c'est comment trouver $sin (\psi )$ et $cos(\psi)$ ?

Car c'est le déphasage de la force, mais est-ce aussi le déphasage de X ?

Posté par re : Travail fourni par période 02-12-20 à 15:23

Pas très utile mon dernier message... Je vais essayer de faire mieux. Il faut utiliser l'expression de f(t) fournie en début de ton premier message.

$\int_{0}^{T}f(t).v(t).dt=-m.\omega^{2}.\int_{0}^{T}x(t).v(t).dt+k.\int_{0}^{T}v^{2}(t).dt+k.\int_{0}^{T}x(t).v(t).dt$

Sachant que la valeur moyenne du produit sinus.cosinus d'une même phase vaut zéro et que la valeur moyenne du carré d'un cosinus vaut 1/2, tu arrives au résultat. Deux des trois intégrales de droite sont nulles.

Posté par re : Travail fourni par période 02-12-20 à 19:53

Merci beaucoup pour votre indication. Pour l'intégrale de $v^2(t)$ ,il s'agit juste de h en facteur et non de k.

Je comprends cette méthode et trouve le bon résultat, j'ai néanmoins toujours du mal à comprendre la correction jointe dans mon 1er message, mais pas grave, votre méthode me convient parfaitement.

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