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Transitoire dans un circuit faiblement inductif
bonjour, j'ai un exercice d'entrainement à faire mais mon résultat n'est pas homogène et je ne trouve pas mon erreur...
L'énoncé est le suivant :
un circuit RLC dans lequel L est petit (L << R2C) comprend en outre, placés en série, un générateur continu de tension U0 et un interrupteur.
A l'instant t=0, le condensateur étant déchargé, on abaisse l'interrupteur.
1) Déterminer, en faisant les simplifications qui s'imposent, l'expression i(t) du courant dans le circuit en fonction des grandeurs U0, R, L et C.
2) Discuter l'évolution du graphe i(t) lorsque L tend vers 0 et comparer au circuit LC
Voila mon raisonnement :
il s'agit d'un RLC classique, appelons uc la tension aux bornes du condensateur, on obtient alors l'équa diff suivante :
U0/LC = d2uc/dt2 + R/L.duc/dt + uc/LC
on pose 2
= R/L et 
02=1/LC
on calcule l'équation homogène et on a 
'=2-smb]omega[/smb]02
en utilisant l'approximation de l'énoncé on trouve :
2-smb]omega[/smb]02
2
donc '>0
d'où 2 solutions et uc(t) = U0 + e-t[Aet+Be-t] avec A et B constantes
et donc, pour trouver les constantes, j'utilise le fait qu'à t=0 Uo=0 et que q=duc/dt=0
Une fois les constantes déterminées, je trouve i(t) grace à la relation :
i(t) = C.duc/dt
et j'obtiens :
i(t) = C.U0.e-R/L.t ce qui est homogène à une charge et non à un courant...
avez vous une idée de mon erreur?
merci d'avance
Indications à première vue, sans avoir tout vérifié :
- A la fin, lorsqu'on calcule dUc/dt, il ne faut pas oublier le coefficient (-2*lambda) de l'exposant.
- Pour t=0 on a Uc=0, ce qui implique q=0 et ne nécessite donc pas de condition supplémentaire pour que q=0.
- On a bien dUc/dt=0 à t=0 et interrupteur ouvert, mais ce n'est pas la condition à t=0 et interrupteur fermé. En effet, dUc/dt n'est pas égal à 0 à t=0 et interrupteur fermé.
Ue = Ri + L.di/dt + Vc
i = C dVc/dt
dUe/dt = R di/dt + L.d²i/dt² + dVc/dt
0 = R di/dt + L.d²i/dt² + i/C
LC.d²i/dt² + RC.di/dt + i = 0
avec i(0) = 0 et (di/dt)(0) = Uo/L
Résolution :
p²LC + pRC + 1 = 0
p1 = [-RC - V(R²C²-4LC)]/(2LC)
p2 = [-RC + V(R²C²-4LC)]/(2LC)
Et comme on sait que L << R²C, on a : (R²C²-4LC) > 0, p1 et p2 sont réels négatifs.
i(t) = A.e^(p1t) + B.e^(p2t)
di/dt = A.p1.e^(p1.t) + B.p2.e^(p2.t)
i(0) = 0 --> A+B=0
(di/dt)(0) = Uo/L --> A.p1 + B.p2 = Uo/L
A(p1-p2) = Uo/L
A*[-2V(R²C²-4LC)/(2LC)] = Uo/L
A*[-V(R²C²-4LC)/C] = Uo
A = -Uo*C/V(R²C²-4LC)
B = Uo*C/V(R²C²-4LC)
i(t) = (Uo*C/V(R²C²-4LC)).e^[t*(-RC + V(R²C²-4LC))/(2LC)] - (Uo*C/V(R²C²-4LC)).e^[t*(-RC - V(R²C²-4LC))/(2LC)]
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Si L --> 0, alors:
i(t) = (Uo/R). e^[t*lim(L-> 0+)(-RC + V(R²C²-4LC))/(2LC)] - (Uo/R). e^[t*(-oo)]
i(t) = (Uo/R). e^[t*(-RC + V(R²C²-4LC))/(2LC)]
avec:
lim(L-> 0+)(-RC + V(R²C²-4LC))/(2LC)
une indétermination de la forme 0/0
On lève cette indétermination et on a : lim(L-> 0+)(-RC + V(R²C²-4LC))/(2LC) = -1/(RC)
Et alors i(t) = (Uo/R).e^(-t/RC))
Et c'est la même relation que dans un circuit RC .
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Sauf distraction. 
bonjour J-P!
merci encore pour cette réponse très détaillée...
je me pose qd meme une question concernant les conditions initiales :
on sait que i(0)=0 mais comment sait-on que di/dt(0)=U0/L ?
cela signifierait que la tension aux bornes de la bobine à t=0 est égale à la tension délivrée par le générateur.
Peut etre que ma question peut paraitre bête mais là je bloque
A l'instant t = 0, la tension sur le condensateur est nul (c'est l'énoncé qui le dit)
Par la présence de L (qui empêche le courant de varier instantanément), i est nul aussi en t = 0 et donc il n'y a pas de chute de tension sur R en t = 0
Donc, l'entièreté de la tension du généteur, (soit Uo) se trouve aux bornes de L en t = 0
Et comme avec une inductance U = L.di/dt
--> en t=0, on a : Uo = L.(di/dt)(0)
Soit (di/dt)(0) = Uo/L
OK ?
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