Niveau école ingénieur

Transformation géométrique d'une surface élémentaire.

Posté par
souki 24-11-13 à 18:27

Bonsoir à tous,

On considère un élément de surface NdA dans la conﬁguration initiale transformée en nda dans la conﬁguration actuelle via la tranformation $\phi$ . Soit un volume élémentaire cylindrique dont les génératrices s'appuyent sur le contour NdA, sont orientées parallèlement au vecteur élémentaire dMo et ont pour longueur ||dMo||. Calculer son volume dV₀.
Je trouve dV₀=||dMo||dA.
L'image de ce cylindre par la transformation géométrique est également un cylindre dont les génératrices sont caractérisées par l'image de dMo, et dont les faces planes sont représentées nda. Calculer son volume dV.
Je trouve $dV=||\underline{\underline{F}}. \underline{dM_0}||da$ où $\underline{\underline{F}}=\underline{\underline{grad (\phi)}}$ .
Écrire la relation entre dV et dV₀ et conclure que $\underline{n} da = J ^t \underline{\underline{F^{-1}}}.\underline{N} dA$ .

J'écris $J=dV/dV_0$ et j'arrive à $||\underline{dM_0}||JdA=||\underline{\underline{F}}.\underline{dM_0}||da$ .
dM₀ est arbitraire, donc on peut lui donner n'importe quelle direction et n'importe quelle norme. Mais je ne vois pas les choix à faire pour tomber sur l'égalité vectorielle voulue.
Auriez vous des idées ?
Amicalement.

Posté par re : Transformation géométrique d'une surface élémentaire. 24-11-13 à 19:40

Bonjour,

L'île des sciences physiques est réservée aux problèmes et exercices de physique et de chimie…

Posté par Gradient d'une transformation géométrique 28-11-13 à 12:42

Bonsoir à tous,

L'axe d'un barreau cylindrique homogène et isotrope est dirigé selon N dans la conﬁguration initiale (N = e₃). Il subit d'abord l'action de deux forces opposées qui induisent une traction selon son axe. Au cours de cette transformation, l'axe du cylindre est conservé, la section droite passe de So à S et la hauteur de ho à h. Cette transformation φ1 est homogène et l'état de contrainte est caractérisé par le tenseur de contrainte de Cauchy σN ⊗ N. Expliciter le tenseur (d'ordre 2) $grad \phi_1$ correspondant.
En utilisant la relation de transport d'une surface élémentaire ( $\underline{n}da=J(\underline{X},t)(^tgrad \underline{\phi_1})^{-1}.\underline{N} dA$ avec $\underline{n}da$ la surface dans la configuration actuelle et $\underline{N} dA$ la surface dans la configuration initiale), je trouve F₃₁=F₃₂=0 et F₃₃=h/h₀ .
En exploitant le coefficient (3,3) du tenseur de déformation (dilatation linéique selon e3), j'aboutis à F₂₃=F₁₃=0
Je bloque sur les autres coordonnées.
Auriez vous des idées ?
Cordialement.

*** message déplacé ***

Posté par re : Transformation géométrique d'une surface élémentaire. 28-11-13 à 13:41

Il aurait été intelligent de poster un énoncé complet dès le début...

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