Niveau licence

Transformation de Lorentz - champs magnétique

Posté par
cercus 02-04-18 à 11:56

Bonjour, Je me tourne vers vous car j'ai un problème avec un calcul :

Il faut montrer que $\varepsilon _0*\overrightarrow{E}² - \frac{1}{\mu _0}*\overrightarrow{B}²$ est invariant sous transformation de Lorentz.

Je commence par rappeler $\overrightarrow{E'} = \begin{pmatrix} E_x\\ \frac{E_y-v*B_z}{\sqrt{\alpha }} \\ \frac{E_z-v*B_y}{\sqrt{\alpha }} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{B'} = \begin{pmatrix} B_x\\ \frac{B_y+\frac{v*E_z}{c²}}{\sqrt{\alpha }} \\ \frac{B_z-\frac{v*E_y}{c²}}{\sqrt{\alpha }} \end{pmatrix}$

Je pose = $1-\frac{v²}{c²}$

Ensuite, je calcule $\overrightarrow{E'}² :$

$\overrightarrow{E'}² = E_{x}² + \frac{1}{\alpha}[E_{y}²+E_{z}²+v ²(B_{z}²+B_{y}²)+2v(E_zB_y-E_yB_z)]$

puis $\overrightarrow{B'}² :$

$\overrightarrow{B'}² = B_{x}² + \frac{1}{\alpha}[B_{y}²+B_{z}²+\frac{v²}{c^4}(E_{y}²+E_{z}²)+\frac{2v}{c²}(E_zB_y-E_yB_z)]$

Je calcule $\varepsilon _0*\overrightarrow{E'}² - \frac{1}{\mu _0}*\overrightarrow{B'}²$ :

$\varepsilon _0[ E_{x}² + \frac{1}{\alpha}[E_{y}²+E_{z}²+v ²(B_{z}²+B_{y}²)+2v(E_zB_y-E_yB_z)]]-\frac{1}{\mu _0}*[B_{x}² + \frac{1}{\alpha}[B_{y}²+B_{z}²+\frac{v²}{c^4}(E_{y}²+E_{z}²)+\frac{2v}{c²}(E_zB_y-E_yB_z)]]$

Les $\frac{2v\varepsilon _0}{\alpha}*(E_zB_y-E_yB_z)$ et $\frac{2v}{\mu_0\alpha*c²}*(E_zB_y-E_yB_z)$ vont s'annuler car $\varepsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c²}$

Je transforme ₀ en ₀ dans les expressions où on a du B et inversement (grâce à la relation $\varepsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c²}$ ) et je factorise par ₀ et ₀ :

$\varepsilon_0[E_x²+\frac{E_y²}{\alpha}+ \frac{E_z²}{\alpha}-\frac{v²}{c²\alpha}E_z²-\frac{v²}{c²\alpha}E_y²]-\frac{1}{\mu_0}[B_x²+\frac{B_y²}{\alpha} + \frac{B_z²}{\alpha}+ \frac{v²B_y²}{c²\alpha}+ \frac{v²B_z²}{c²\alpha}]$

Dans le premier crochet il me restera juste $E_x²+E_y²+E_z²$ mais c'est pour le deuxième crochet où on ne peut pas simplifier car on a $\frac{1+\frac{v²}{c²}}{1-\frac{v²}{c²}}$

Bien cordialement

Posté par re : Transformation de Lorentz - champs magnétique 02-04-18 à 15:19

Bonjour
Étourderie sans doute en recopiant l'expression initiale du vecteur E' ; sûrement une faute de frappe car elle n'est pas répercutée ensuite.

$\overrightarrow{E'}=\begin{pmatrix}E_{x}\\ \\ \frac{E_{y}-v*B_{z}}{\sqrt{\alpha}}\\ \\ \frac{E_{z}+v*B_{y}}{\sqrt{\alpha}} \\ \end{pmatrix}$

Ensuite :

$U=\varepsilon_{0}.E'^{2}-\frac{1}{\mu_{0}}B'^{2}=\varepsilon_{0}\left(E'^{2}-c^{2}.B'^{2}\right)$

$U=\frac{\varepsilon_{0}}{\alpha}\left\{ E^{2}-\frac{v^{2}}{c^{2}}E_{x}^{2}+v^{2}\left(B_{z}^{2}+B_{y}^{2}\right)+2v\left(E_{z}B_{y}-E_{y}B_{z}\right)-c^{2}\left[B^{2}-\frac{v^{2}}{c^{2}}B_{x}^{2}+\frac{v^{2}}{c^{4}}\left(E_{y}^{2}+E_{z}^{2}\right)+2\frac{v}{c^{2}}\left(E_{z}B_{y}-E_{y}B_{z}\right)\right]\right\}$

$U=\frac{\varepsilon_{0}}{\alpha}\left[E^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)-B^{2}.c^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\right]$
Tu devrais t'en sortir maintenant. Je pense que l'utilisation des notations habituelles en relativité : $\beta=\frac{v}{c}$ et $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ aurait peut-être rendu les choses plus faciles...

Posté par re : Transformation de Lorentz - champs magnétique 02-04-18 à 15:51

Le professeur nous a pas montré cette notation en cours mais c'est noté. Puis, c'est vrai que c'est plus pratique de mettre sous cette forme :
$\varepsilon_{0}\left(E'^{2}-c^{2}.B'^{2}\right)$ mais ce que je comprend pas c'est ou se trouve mon erreur dans mon calcul.

Posté par re : Transformation de Lorentz - champs magnétique 02-04-18 à 16:28

Pas de problème jusque là :

$\varepsilon _0[ E_{x}² + \frac{1}{\alpha}[E_{y}²+E_{z}²+v ²(B_{z}²+B_{y}²)+2v(E_zB_y-E_yB_z)]]-\frac{1}{\mu _0}*[B_{x}² + \frac{1}{\alpha}[B_{y}²+B_{z}²+\frac{v²}{c^4}(E_{y}²+E_{z}²)+\frac{2v}{c²}(E_zB_y-E_yB_z)]]$
C'est à partir de là que j'ai remplacé $\frac{1}{\mu_{0}}$ par $\varepsilon_{0}.c^{2}$ ... Il s'agit sans doute d'une étourderie de signe...

Posté par re : Transformation de Lorentz - champs magnétique 02-04-18 à 17:17

En remplaçant $\frac{1}{\mu_{0}}$ par $\varepsilon_{0}.c^{2}$ , je trouve la bonne expression à la fin

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