Bonsoir,

Trop de questions confuses à la fois !! Je vais essayer de répondre simplement pour commencer sans donner trop de détails pour que tu puisses t'y retrouver doucement.

La transformée de Fourier, c'est un cas particulier de la décomposition d'une fonction sur une base continue. Comme quand tu cherches à trouver les composantes d'un vecteur dans une base donnée. Pour cela tu peux calculer le produit scalaire entre ton vecteur et un vecteur de la base. En fait, a la fin, tu peux écrire ton vecteur comme une combinaison linéaire des vecteurs de bases avec certains coefficients. Ici, la base est continue donc la somme est une intégrale. Les "vecteurs" de base sont les fonctions exp(ix) pour x allant de -inf à +inf.

"Parfois le premier coefficient est 1/2Pi d'autres fois c'est 1/rac(2Pi) et d'autres fois 2/T où T est la période. Y a t il une unique formule de la transformée de Fourier ? "

La décomposition d'un vecteur sur une base dépend de cette base.. généralement les bases sont normalisées à 1, on utilise des vecteurs unitaires, mais c'est un choix. Le problème ici c'est que les fonctions exp(ix) ne sont pas normalisables, leur intégrale est infinie ! Elles sont normalisées aux sens des distribution en utilisant la distribution de Dirac.

Et pourquoi le Dirac est-il "le Fourier" de 1 ?

Et bien non justement. La distribution de Dirac, tu peux la construire comme étant par exemple la limite d'une fonction gaussienne. Une fois que tu as choisi une définition pour la transformée de Fourier avec un coefficient arbitraire "1/2Pi d'autres fois c'est 1/rac(2Pi)", tu obtiendras differentes valeurs pour la transformée de Fourier du Dirac. Pour faciliter les calculs, tu peux en effet CHOISIR d'imposer que le Fourier de Dirac vaut 1. Ce qui changera le coefficient de normalisation dans la définition de la TF que tu choisis.