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Transferts thermiques dans un igloo
Bonjour à tous,
je vous sollicite aujourd'hui car j'aurais besoin de vos lumières pour la résolution d'un exercice de transferts thermiques. Voici l'énoncé de l'exercice en question:
Au cours d'une expédition polaire, les trois petits cochons décident de construire un igloo de glace de forme hémisphérique. Ils s'accordent sur un rayon intérieur Ri=1,0 m et une épaisseur de glace de 30 cm. L'air extérieur est à une température Te=-5°C, supposée constante.
Au moment où l'igloo est achevé, le grand méchant loup surgit. Les trois petits cochons se précipitent à l'intérieur de l'igloo et obstruent l'entrée par un dernier morceau de glace.
Le loup se met à souffler, souffler, mais l'igloo reste en place. Ayant bien remarqué l'absence de cheminée, sa seule chance est de continuer à souffler. Un régime stationnaire de transferts thermiques finit par s'établir entre l'intérieur et l'extérieur de l'igloo.
On donne les paramètres suivants :
- pour le milieu intérieur : hi=5,0 W.m-2.K-1
- pour le milieu extérieur : he=100 W.m-2.K-1 lorsque le loup souffle et he=10 W.m-2.K-1 lorsqu'il ne souffle plus.
- conductivité thermique de la glace : λ=2,1 W.m-1.K-1
- Capacité thermique massique de la glace : c=2,06.103 J.kg-1.K-1
- masse volumique de la glace : ρ=9,17.102 kg.m-3
Phase 1 : le loup souffle
1. Démontrer la formule de la résistance thermique de conduction de l'igloo puis vérifier qu'elle vaut Rthcond=1,75.10-2K.W-1
2. Sachant qu'un petit cochon libère une puissance de 80 W, calculer la température intérieure qui règne à l'intérieur de l'igloo, ainsi que la température de sa paroi intérieure. Conclure.
Phase 2 : le loup, fatigué, arrête de souffler, mais les trois petits cochons restent enfermés.
3. En se plaçant en régime stationnaire, montrer que l'igloo fond. De quel côté ?
(Bonus 1 point) Sur quelle épaisseur ? Conclure sur le sort réservé aux petits cochons.
La question me posant problème est la dernière. Je n'arrive pas à comprendre à quel moment il me faudra utiliser la capacité thermique de la glace dans ce calcul. J'ai calculé la température de l'intérieur de l'igloo puis de la paroi interne (phénomène de convection) qui devient supérieure à 0 quand le loup ne souffle plus. J'ai regardé également l'épaisseur de glace à partir de laquelle la température redevient inférieure à 0°C. Mais je ne suis pas convaincue que la méthode soit bonne. L'énoncé ne nous donne pas la valeur de la chaleur latente de fusion de la glace.
Merci d'avance de votre aide!
Naheya
Bonjour
A mon avis, la chaleur latente de fusion de la glace est inutile. On peut sans cela calculer la nouvelle épaisseur de glace permettant l'obtention d'un nouvel équilibre thermique. Il faut étudier ce nouvel état d'équilibre.
Bonjour
A mon avis, la chaleur latente de fusion de la glace est inutile. On peut sans cela calculer la nouvelle épaisseur de glace permettant l'obtention d'un nouvel équilibre thermique. Il faut étudier ce nouvel état d'équilibre.
Pourriez-vous me donner plus de détails s'il vous plait?
C'est l'étude identique à la précédente avec une seule différence : la constante de Newton he est divisée par 10. La puissance thermique cédée par la glace à l'air extérieur est donc aussi divisée par 10 à écart de températures identique. La glace cède donc moins de puissance thermique à l'air extérieur alors qu'elle continue à en recevoir côté intérieur donc la glace absorbe de la chaleur et fond...
Il te faut donc refaire un bilan thermique avec une résistance thermique qui dépend de l'épaisseur. La nouvelle valeur de la résistance thermique qui conduit à un équilibre va te fournir l'épaisseur de glace à l'équilibre. On pourrait aussi imaginer que l'état d'équilibre avec la glace est impossible à atteindre : cela signifierait que la glace a complètement fondu....
Peux-tu fournir, à titre de vérification, les résultats obtenus aux questions précédentes ?
C'est l'étude identique à la précédente avec une seule différence : la constante de Newton he est divisée par 10. La puissance thermique cédée par la glace à l'air extérieur est donc aussi divisée par 10 à écart de températures identique. La glace cède donc moins de puissance thermique à l'air extérieur alors qu'elle continue à en recevoir côté intérieur donc la glace absorbe de la chaleur et fond...
Il te faut donc refaire un bilan thermique avec une résistance thermique qui dépend de l'épaisseur. La nouvelle valeur de la résistance thermique qui conduit à un équilibre va te fournir l'épaisseur de glace à l'équilibre. On pourrait aussi imaginer que l'état d'équilibre avec la glace est impossible à atteindre : cela signifierait que la glace a complètement fondu....
Peux-tu fournir, à titre de vérification, les résultats obtenus aux questions précédentes ?
Merci de m'avoir donné plus de détails. Dans votre réponse, si je reformule correctement, je recherche un nouvel état d'équilibre avec une épaisseur de glace e2 et une température de la paroi interne Tpi=0°C. Dans ce cas, je ne me sers pas de la capacité thermique massique, c'est cela?
A titre indicatif, la résistance thermique de conduction vaut Rth=(1/λ2
)x((1/Ri)-(1/(Ri+e)))=0,0175 K.W-1
la température intérieure quand le loup souffle est de 7°C et la température de la paroi interne de -0.6°C (l'igloo ne fond pas)
Quand le loup arrête de souffler, la température intérieure de l'igloo vaut 9.1°C et la température de la paroi interne 1.46°C. L'igloo va donc fondre.
Merci de votre aide!
Quand l'igloo se met à fondre de l'intérieur, la température de la face interne de l'igloo est, comme tu commences par l'écrire, égale à Tpi=0°C. Pourquoi obtiens-tu ensuite Tpi=1,46°C ?
Quand l'igloo se met à fondre de l'intérieur, la température de la face interne de l'igloo est, comme tu commences par l'écrire, égale à Tpi=0°C. Pourquoi obtiens-tu ensuite Tpi=1,46°C ?
Très bonne remarque effectivement. Mais je ne vois toujours pas comment construire la réponse à cette question.
On fait l'hypothèse que la glace ne fond pas entièrement. On vérifiera au final que les résultats obtenus sont cohérents avec cette hypothèse.
En régime permanent, la puissance thermique est la même à travers toute hémisphère de rayon r avec (1,3-e)<r<1 avec r mesuré en mètre. La glace fond à l'intérieur : le rayon extérieur vaut toujours 1,3m, le rayon intérieur vaut (1,3-e).
Loi de Newton sur la convection appliquée à l'hémisphère intérieur :
puissance thermique transmise par conduction à travers la glace :
Loi de Newton sur la convection appliquée à l'hémisphère extérieure :
Puisque Tpi=0°C et Text=-5°C, tu obtiens 3 équations pour trois inconnues : Tpe, Ti (température de l'air intérieur) et e. Obtenir une valeur positive de e strictement positive mais inférieure à 30cm validerait l'hypothèse de départ...
On fait l'hypothèse que la glace ne fond pas entièrement. On vérifiera au final que les résultats obtenus sont cohérents avec cette hypothèse.
En régime permanent, la puissance thermique est la même à travers toute hémisphère de rayon r avec (1,3-e)<r<1 avec r mesuré en mètre. La glace fond à l'intérieur : le rayon extérieur vaut toujours 1,3m, le rayon intérieur vaut (1,3-e).
Loi de Newton sur la convection appliquée à l'hémisphère intérieur :
puissance thermique transmise par conduction à travers la glace :
Loi de Newton sur la convection appliquée à l'hémisphère extérieure :
Puisque Tpi=0°C et Text=-5°C, tu obtiens 3 équations pour trois inconnues : Tpe, Ti (température de l'air intérieur) et e. Obtenir une valeur positive de e strictement positive mais inférieure à 30cm validerait l'hypothèse de départ...
Merci beaucoup! on trouve une épaisseur de 25cm, donc l'hypothèse de départ est correcte et l'igloo ne fond pas complètement.
Je suppose donc que dans cet énoncé, les propriétés inhérentes à la glace (capacité thermique et masse volumique) sont donc inutiles? A moins qu'il n'y ait une autre solution pour obtenir ce résultat?
Merci du temps que vous m'avez consacré jusqu'à présent!
Tu as aussi les températures Ti et Tpi ? J'obtiens une épaisseur de glace restante un peu inférieure à la tienne...
Ceci est au départ un exercice d'oral... Il n'est pas rare à ce niveau de fournir un extrait de tables thermodynamiques : au candidat de choisir les données utiles...
Au fait : que vont devenir les trois cochons à ton avis ?
effectivement j'ai fait une erreur dans mon application numérique. Je trouve 0,41m, cela correspond davantage à ce que vous obtenez?
Trouver plus de 30cm signifierait que toute la glace a fondue. L'hypothèse de départ serait fausse. J'obtiens e= 21,3cm et pour Ti et Tpi ?
Bon je crois que je suis un peu fatiguée aujourd'hui et que je mélange les applications numériques de mes exercices. Je trouve bien comme vous 21,3 cm (j'avais pris une valeur de 5 au lieu de 2,1 pour la conductivité thermique... 
)
pour les températures:
on va utiliser la convection entre l'air intérieur et la paroi intérieure pour calculer Ti et la convection entre l'air extérieur et la paroi extérieure pour calculer Tpe
Ti=6,46°C
Tpe=2,74°C
Quant aux petits cochons, au mieux ils auront un bon gros rhume, au pire, ils succomberont lentement d'hypothermie suite à leur bain glacé forcé.
Merci encore de votre aide précieuse et votre démarche didactique! Vous avez été au top cet après-midi.
Juste une étourderie au niveau d'un signe : Tpe=-2,74°C.
D'accord sinon avec ta conclusion : les cochons ne vont pas être mangés par le loup mais vont sans doute mourir de froid : la glace fondue représente un volume d'eau de 1910L soit une hauteur d'eau très froide de 61cm, sans prendre en compte le rôle éventuel du sol de l'igloo...
PS : cette théorie ne prends pas en compte le rôle de cette eau : une partie de la puissance thermique va être absorbée par cette eau primitivement à 0°C... Bref : le problème est en fait nettement plus compliqué.
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