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Trajectoire circulaire

Posté par
Thibault1999 07-03-18 à 14:25

Bonjour,

J'ai un DNS à rendre la semaine prochaine, mais je suis bloqué à une question, ce qui m'empêche plus ou moins de poursuivre l'exercice. Voici l'énoncé :
On étudie un point matériel P soumis à une accélération centrale dirigée vers le point O telle que :
a=k{(\frac{r_0}{r})}^n

1. Comment faut-il choisir le vecteur initial (direction et norme) pour que sa trajectoire soit un cercle de rayon r0 ? Quelle est alors sa vitesse angulaire 0 ?

Direction : Orthogonale au vecteur position
Norme : en utilisant le repère de Frénet je trouve : v_0=\sqrt{kr_0}
On obtient alors 0=\sqrt{\frac{k}{r_0}}

2. Le point est lâché à une distance r0 de O avec une vitesse angulaire 0, mais la direction de son vecteur vitesse n'est pas tout à fait correcte pour obtenir le mouvement circulaire de la question 1. Sa trajectoire s'écarte légèrement de l'orbite circulaire et on pose :
r=r0(1+) avec epsilon petit devant 1.

a) Montrer, à l'aide des coordonnées du vecteur accélération, quer²\dot \theta=A=constante et préciser A en fonction de r0 et 0.

C'est pour cette question que je suis bloqué...

b) Etablir l'équation différentielle vérifiée par epsilon.
On a :
a=k{(\frac{r_0}{r})}^n=\ddot r - r\dot \theta ² car l'accélération est dirigée vers O.
k \times \frac{1}{(1+\epsilon)^n} =r_0 \ddot \epsilon- \frac{A²}{r_0(1+\epsilon)^3}

c)  En tenant compte du fait que les résultats de la première question sont presque vérifiées et que epsilon est petit, établir l'équation : \ddot \epsilon + w_0²(3-n)\epsilon \approx 0

Quand on voit à quoi ressemble ce que l'on trouve à la question précédente, on aurait bien envie de faire un DL sur 1/(1+ epsilon)^n et 1/(1+epsilon)^3 pour retrouver l'équation

d) Pour quelles valeurs de n le point P reste au voisinage de la trajectoire circulaire de rayon r0 ?

e) Pour n=2, quel sera le mouvement de P la particule ?
On reconnait l'équa diff d'un oscillateur harmonique

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
vanoisere : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 14:34

Bonjour
Il s'agit donc de la suite de l'exercice précédent...
Envisage ensuite les solutions de l'équation différentielles vérifiées par . Selon le signe de (3-n) tu vas obtenir des oscillations sinusoïdales où une variation exponentielle (sinus et cosinus hyperbolique si tu domines...) Que vas-t-il se passer à ton avis dans ces deux cas ?
Le cas particulier n=2 est particulièrement intéressant car il correspond à une force gravitationnelle. La situation peut correspondre au lancement d'un satellite artificiel de la terre par exemple.

Posté par
Thibault1999re : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 14:37

"Il s'agit donc de la suite de l'exercice précédent..." Je ne comprends pas, je n'ai pas posté de message à propos de cet exercice...

Posté par
vanoisere : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 14:41

J'ai effectivement confondu les pseudos. Regarde le post de hier après-midi ici : tu comprendras ma réaction. Bien sûr : je suis prêt à t'aider !
stabilité trajectoire

Posté par
Thibault1999re : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 14:45

Dans un de tes messages, tu parles de moment cinétique, mais nous n'en avons pas encore parlé en cours... N'y a-t-il pas une autre solution pour répondre à la question 2a ?

Posté par
vanoisere : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 15:01

Il y a une autre méthode pour ceux qui ne connaissent pas le théorème du moment cinétique. Il faut partir de l'expression générale de la composante de l'accélération suivant e[sub][/sub] qui a été rappelée sur l'autre post :

\overrightarrow{a_{M}}=\left(\ddot{r}-r.\dot{\theta^{2}}\right)\overrightarrow{e_{r}}+\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\overrightarrow{e_{\theta}}=-k\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{n}.\overrightarrow{e_{r}} \\
donc :

(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})=0

Il suffit alors de penser à multiplier tous les termes par r :

(2r.\dot{r}\dot{.\theta}+r^{2}\ddot{\theta})=0

Il suffit alors de remarquer :

(2r.\dot{r.}\dot{\theta}+r^{2}\ddot{\theta})=\frac{d\left(r^{2}.\dot{\theta}\right)}{dt}=0\;\forall t\quad donc\quad r^{2}.\dot{\theta}=constante
Tu vas peut-être penser : cela fait beaucoup de "il suffit"...

Posté par
Thibault1999re : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 15:05

Cette méthode est plutôt efficace quand on pense à multiplier par r ! Par contre, je ne vois pas comment on peut trouver l'expression de A en fonction de r0 et w0 à partir de cette méthode.

Posté par
vanoisere : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 15:08

Intéresse toi au cas particulier de l'état initial. Il me semble avoir fourni le résultat hier.

Posté par
Thibault1999re : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 15:12

A t=0, on a r=r0 donc A=r_0² \dot \theta=r_0² \omega_0 ?

Posté par
vanoisere : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 15:17

Ok !

Posté par
Thibault1999re : Trajectoire circulaire 07-03-18 à 15:17

Merci beaucoup pour ton aide !


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