Niveau maths spé

Traitement du signal

Posté par
Flewer47 01-09-16 à 21:15

Bonsoir,

Voici un exercice que lequel je bloque :
1) On souhaite réaliser un filtre de fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)=\dfrac{1}{1+3j\dfrac{\omega}{\omega _0}-(\dfrac{\omega}{\omega _0})^2}$ , où $f_0=\dfrac{\omega _0}{2\pi}=1600Hz$ . Proposer une réalisation simple à l'aide de composants passifs. On précisera les valeurs numériques des composants utilisés.
2) Tracer son diagramme de Bode asymptotique. Quelle est la nature du filtre réalisé ?
3) Le signal d'entrée est un signal sinusoïdal redressé provenant d'un redresseur double alternance : $v_e(t)=E|cos(\omega t)|$ .
a) Expliquer qualitativement pourquoi le développement en série de Fourier de ce signal, tronqué à l'ordre 2 est de la forme : $v_e(t)=\dfrac{2E}{\pi}+\dfrac{4E}{3\pi}cos(2\omega t)$ . Quelle est la fréquence du premier terme négligé non nul ?
b) Exprimer la tension de sortie du filtre $v_s(t)$ en supposant $\omega >> \omega _0$ .
c) On définit son "taux d'ondulation" $\rho$ par $\rho =\dfrac{v_s^{max}-v_s^{min}}{v_s^{moy}}$ . L'exprimer en fonction de $\dfrac{\omega}{\omega _0}$ . Comment peut-on mesurer $\rho$ en TP avec un oscilloscope, sachant que $\rho$ est de l'ordre de 1% ?
4) A quelle condition le circuit (pourvu que le critère de stabilité soit vérifié) se comporte-t-il comme un double intégrateur ? Qu'obtiendrait-on en sortie si le signal d'entrée était un créneau symétrique ?

Mes recherches :

1) On peut faire un RLC série et prendre la tension aux bornes du condensateur. Par identification, on pose $\omega _0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}, R=3\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ . Pour respecter la condition, j'ai choisi $L=3,905.10^{-2}H, C=10^{-5}F, R=197,47 \Omega$ .

2)Jusqu'à $\omega = \omega _0$ , le gain est à 0 et la phase aussi. A partir de cette pulsation de coupure, il y a une pente de -40dB/décade pour le gain, et un passage à -180° pour la phase. On a donc un passe-bas du second ordre.

3)a) Le signal est périodique, pair. Sa période vaut $\dfrac{\pi}{\omega}$ . Donc on n'a pas de sinus, et la fréquence du fondamental est alors de $2\omega$ . La fréquence du premier terme négligé est alors $\dfrac{2\omega}{\pi}$ .

b) Dans le cas où $\omega >>\omega _0$ , on peut considérer que même le fondamental est négligeable. Il ne reste que la composante continue et alors $v_s(t)\approx \dfrac{2E}{\pi}$ .

c) Je ne comprends pas trop cette question. Je doute que l'on soit encore dans l'hypothèse $\omega >>\omega _0$ . Si ce n'est pas le cas comme je le pense, j'écrirai $v_s(t)=|\underline{H}(0)|\times \dfrac{2E}{\pi}+|\underline{H}(2\omega j)|\times \dfrac{4e}{3\pi}cos(\omega t+\phi (2\omega j))$ , et je calculerais selon la valeur du sinus $v_s^{min}$ et $v_s^{max}$ . Est-ce correct ?

4) Si on travaille en hautes fréquences, la phase vaut -180° : on a une double intégration. D'un créneau symétrique on obtiendrait alors des arcs de paraboles.

Posté par re : Traitement du signal 02-09-16 à 10:44

Bonjour
Tu as plutôt bien travaillé !
Une étourderie certainement à ta réponse 3.a) : tu emploies le mot fréquence à la place de pulsation à propos de 2.
A la question 3c) il me semble logique de continuer à faire l'hypothèse >>_o : le but du problème est, me semble-t-il, d'étudier comment passer d'une tension sinusoïdale redressée à une tension "quasi" continue, le "quasi" étant quantifié par le taux d'ondulation. Tu peux faire ce calcul à l'aide de l'expression simplifiée asymptotique de H :

$\varphi\approx-\pi\:\left[2\pi\right]rad\quad;\quad|\underline{H}|=H=\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)^{2}$